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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
2K. jn/7 x 2K 0 ^ fln n v 2R°£° . - 
— G (A, <p) —G (A- 0 , <p°) = —— sm <p°; 
et, en comparant ies seconds membres de ces deux équations, on s’as 
sure aisément qu’ils sont égaux; car, suivant l’art. 63, tome 1 er , on a 
sm ® =—--y- . —-—11 reste donc a laire voir quon a 
T 14- k° A (Jb. ffl} 1 
4K°/i o 
1 ■+■ Jb° 
= K A*; c’est ce qui résulte des valeurs connues R = (i-f- A 0 ) K°, 
A* = - -• ^ onc 01:1 aura l’équation 
— G (A, $) — = îï-°G (A", <j>°) - , 
5T \ 5 ry (à {rj f x) TT v ’ r J © (ÿ% 2«) ’ 
où l’on remarque que le second membre n’est autre chose que le premier, 
dans lequel on mettrait A 0 et <p° à la place de k et (p; car celte substitution 
exige qu’on mette en même temps q a et ix à la place de q et x. 
Cela posé, si l’on désigne le premier membre par <D(A, (p), le second 
membre sera <D(A°, <p°), et l’on aura O (A, <p) = O (A 0 , <p°). Par la même rai 
son, on aurait O (A 0 , <p 0 ) = 0(A 00 , <p°°), <1>(A 00 , <p 00 ) = O (A 000 , (p 000 ) , etc. ; 
donc on aura en général O (A, (p) = $ (A*“, (¡T). Supposons que la suite A, 
A 0 , A 00 , etc., soit prolongée jusqu’à un terme A*, qu’on puisse regarder 
comme négligeable, ou même infiniment petit, alors la valeur de q, cor- 
pondante au module A**, sera le terme de rang ^ dans la suite q* , 
</ 8 , etc., et par conséquent sera q^; d’où l’on voit que ce terme sera en 
core beaucoup plus négligeable que A^ : et puisqu’on a 
,y- 2K'“ ^ /7 /t ‘2 1 * ix) 
®(A , O 
G (A , <p ) 
© (?***, 2*“*) 
on pourra , dans le second terme , faire 
© (<7'^, 2 i “jr) =1, et ©'(^, 2 ,w \r) = o; 
ce qui réduit la valeur de ^(A^, (p 1 ") au premier terme G (A , <p M ) 
= [E^, <p M ) — (Ji*, <?**)]• Mais dans ce cas, où ¡i est censé in 
finiment petit, on a R“ = \tt = E’A^, e? = 1-, on a de plus 
E(r,/}=F(r,/)=^; donc 0(A^, /) = o: 
donc on a en général O (A:, (p) = 0 , ou 
2K ^ ^ ^ © (17, a;) _