TROISIÈME SUPPLÉMENT. 187 
somme semblable appliquée, pour les mêmes valeurs particulières de oc, à 
la fonction simple ^ O oc. 
Mais il faut observer que le problème qui détermine les coeiîiciens des 
fonctions Goc et Q t oc, par le moyen des fjt — N valeurs particulières de oc , 
aura toujours, en quantités réelles, autant de solutions qu’il est nécessaire 
pour que les fonctions composant la somme 'E^oOC s y trouvent dans toutes 
les combinaisons possibles des signes. Ainsi, la somme désignée par 
s’exprimera, dans toute combinaison des signes du premier membre, par 
des quantités algébriques et logarithmiques. Il arrivera seulement que les 
auxiliaires seront différentes dans les différentes combinaisons, et que 
quelques-unes d’entre elles pourront être imaginaires; ce qui donnera 
toujours une solution analytique, mais plus difficile à vérifier. Ces pro 
priétés, au reste, ne peuvent être indiquées ici que très succinctement ; 
nous leur donnerons ci-après de plus grands développemens. 
219. Il nous reste enfin à faire observer que les transcendantes dont 
nous nous occupons jouissent, dans chaque classe, de la propriété de se 
diviser en trois espèces, comme les fonctions elliptiques. 
Les fonctions de la première et de la seconde espèce résultent de la sup 
position J oc = oc e [oc — et); elles sont donc comprises dans la formule gé 
nérale ^,00=. il est facile de voir que cette formule est sus 
ceptible de réduction lorsque l’exposant e est égal à À — 1 ou plus grand 
que A — 1. 
En effet, soit Z un polynôme complet en oc du degré r; soit, pour abré- 
rj. dz , dQx 
ger, Z 1 = ^ et <p x = - d ~, on aura 
d[Z[/(çx)] Z'çx -|- l Ztp'x 
dx \/ {<px) 
Les coefficiens du polynôme Z étant au nombre de r-f-1, on pourra faire 
en sorte que la quantité Z'<poc -h ^Ztp’oc se réduise aux seuls termes 
oc" — B B V -3 ....— B..r — B 0 . 
■ \ — 2 \ — 3 
Pour cela, il faudra faire r — e— A -j- 1, et les /’-f- 1 coefficiens du po 
lynôme Z fourniront autant d’équations qu’il est nécessaire pour que la 
réduction dont il s’agit ait Heu; on connaîtra ainsi tant la valeur du poly 
nôme Z que celle des nouveaux coefficiens E , B _ 3 ..,.B 0 . Cela fait, 
si l’on appelle, pour abréger, T„ l’intégrale j*—on aura 
24..