igo FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
minateur de Fx, la seconde aux facteurs doubles, et ainsi de suite. Ainsi 
l’intégrale désignée par Ÿjc contiendra , 
i°. L’intégrale J-y^ry qui s’exprimera par des fonctions de la pre 
mière et de la seconde espèce, dans la classe déterminée par le plus haut 
exposant de x dans çx ; 
2°. Une suite de fonctions de la troisième espèce, représentées par 
dx , r dx 
-h 
+ B '/ô 
—j— etc. ; 
•— + e,c - 
(x — a)\/fax) ' 'J (x — €)[/fax) 
3°. Un ou plusieurs termes de la forme 
dx 
\/fax) 
Et ainsi des autres lignes, jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les facteurs 
multiples qui peuvent diviser le dénominateur de la fonction Fx, 
Tout se réduit donc à ramener chaque intégrale de la forme 
à une intégrale semblable, dans laquelle n = i, et qui 
fl 
dx 
(x — a) H y/{px) 
sera ainsi une fonction de la troisième espèce. Cette réduction peut se 
faire de plusieurs manières. 
On peut d’abord, en laissant cl indéterminé, déduire de la première in 
tégrale Z, = /7 ~T77f—> seconde Z a = f- 
B J {x—0L)\/fax) J {X— a) 
rfVfax) ’ 
et successi- 
cJY J rfclZ 
vement toutes les autres, au mojen des formules Z a = ~ , Z 3 = ~. 
dct 2 
La 
d Z. 
a ‘ 3 ‘ d x. 
-f , etc. Une autre solution peut s’obtenir par le procédé 
connu, qui consiste à différentiel' la quantité , puis à revenir de 
la différentielle à son intégrale. Soit, pour abréger, = <p'x et 
f x îf — r/rx y on trouvera de cette manière la formule 
/ n „ r, (?*) 3 , Cïv' x — (n—i 
(* — 0<pa/. = — (x _ -¿pi + J — 
(n — i ) ttx dx 
ViQx)' 
La fraction - ——’_f* x étant développée donnera, en général, une 
(X a.)" 1 A L 
fonction entière de x, plus une suite de fractions qui auront pour déno 
minateurs les puissances successives x — a, (x — a) a .... (x — ct) n ~'. Donc 
la transcendante Z» s’exprimera par les transcendantes d’un ordre moindre