TROISIÈME SUPPLÉMENT. i 9 i 
Z,, Z a . ... Z n _,, auxquelles se joindra une partie algébrique, et une autre 
partie qui ne contient que des fonctions de la première et de la seconde 
espèce. 
Une équation semblable exprimera la transcendante Z„_, par les trans 
cendantes d’ordres inférieurs, jointes aux mêmes parties accessoires. Ainsi 
l’on voit qu’en définitive la transcendante Z„ et toutes les transcendantes 
d’un ordre moindre s’exprimeront par les mêmes fonctions auxquelles 
s’applique directement le théorème général. Ce théorème acquiert ainsi 
toute l’extension que nous voulions lui procurer. 
223. Par les principes élémentaires du calcul intégral, on sait que l’in 
tégrale fTdx peut être déterminée en partie algébriquement, en partie 
par arcs de cercle et par logarithmes, toutes les fois que T est une fonc 
tion rationnelle de x. Par la théorie dont nous venons d’établir les fon- 
demens, on pourra exprimer semblablement la somme d’un certain 
nombre d’intégrales particulières, représentées par J r Tdx, toutes les fois 
que le quarré de T sera une fonction rationnelle de x. 
Les plus simples de ces transcendantes sont celles qui ont reçu le nom 
de fonctions elliptiques; toutes les autres, auxquelles on pourrait donner 
le nom de fonctions ultra-elliptiques, se divisent en une infinité de 
classes portant les numéros successifs 2, 3, etc.: et dans chaque 
classe on distingue trois espèces entièrement analogues à celles que la 
nature des choses a introduites dans la théorie des fonctions elliptiques. 
La troisième espèce peut même être sous-divisée en deux autres, à 
l’instar de la sous-division qui a lieu dans les fonctions elliptiques, se 
lon que le paramètre est circulaire ou logarithmique. 
Par les travaux successifs de différens géomètres, la théorie des fonc 
tions elliptiques est devenue une branche importante de l’analyse. Par 
le théorème de M. Abel, une carrière beaucoup plus vaste est ou 
verte aux recherches des géomètres, puisqu’elle embrasse de nouvelles 
classes de transcendantes en nombre infini, dont les propriétés ne sont 
pas moins remarquables que celles des fonctions elliptiques, avec les 
quelles elles ont beaucoup d’analogie, et qui étaient restées jusqu’à pré 
sent entièrement inconnues. 
Nous nous proposons de donner ici, au moins dans quelques exem 
ples, une idée de ces propriétés nouvelles, dont nous avions en quelque 
sorte provoqué l’investigation dans la première phrase de l’introduction 
au tome I er . Pour avancer plus sûrement dans cette nouvelle carrière, 
nous avons appuyé nos résultats sur des calculs numériques faits avec