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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

la valeur s= -.y dans l’équation différentielle, mais dont le succès tient
encore an principe de la double substitution, principe sans lequel on ne
pourrait avoir la valeur de i — hy, exprimée par le produit de plusieurs
facteurs, en la déduisant des valeurs semblablement exprimées de i —y
et de y.
12. Nous mettrons d’abord l’équation différentielle sous la forme
(ï —y*) (i — hy*) = (¿* & (i — x*) (i — k*x*) ;
ensuite faisant
Y 4 ( i —y*) ( i — hy*) = ( i — x*) ( i — k*oc*) T a ,
et déterminant T par cette équation, il restera à satisfaire à l’équation
T = ou
T , /dû dY\
Ydx}
Les polynômes U et Y étant, ainsi que T, des fonctions paires de x, il con
viendra de faire x* — £ , et l’on aura l’équation
/T \ i_ dü_ dV_
MJV d£ ŸdV
où il faudra démontrer que les deux membres peuvent être rendus iden
tiques.
13. On a d’abord, par les équations (4) et (5)
(.0) V(I-r)=(—*■) (—’
ensuite, si dans l’équation (4), qu’on peut écrire ainsi
(j—^_y (i+-^~y (x-^-y (i=t~—y
\ Sin«,/ \ SI lUts/ \ Sin*5/ \ Sin
■k*x*sin*ce p ^ 1 ’ l — k*x 2 sin 2 « p _3 ’ i — k*x* sin^^s i — k 2 x* sin a æ a
on substitue à la fois 7- à la place de x, et à la place de y, on aura