IO FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
petites du nombre telles que p = 5, 5, 7 , et il cesserait absolument 
de l’être en laissant la formule dans l’état de généralité qui s’applique à 
toute valeur du nombre impair p. 
La difficulté qui se présente ici est d’une telle nature, qu’il ne resterait 
guère d’espoir de parvenir à la démonstration générale, si M. Jacobi n’eût 
trouvé un moyen aussi simple qu’ingénieux d’éviter la substitution à faire 
dans l’équation différentielle, et d’y suppléer par une propriété particu 
lière de cette équation , qui doit être commune aux intégrales qui la re 
présentent. 
9. Cette propriété consiste dans la remarque faite par l’auteur, que si l’on 
substitue à la fois ~ à la place de x, et à la place de J, l’équation 
différentielle, quoique affectée dans chaque membre du facteur \/— 1 , 
n’en sera pas moins satisfaite par la suppression de ,ce facteur. Tout 
se réduit donc à faire cette double substitution dans l’intégrale 
v = -. , et à examiner si elle est satisfaite. 
J |K v 7 
Or, en substituant ^ à la place de x dans le facteur général, 
Um 
sin'- 1 a m 
1 — k 2 x 2 sin a « m ’ 
U 
qui sert à composer la valeur de ÿ, ce facteur devient 
k 2 sin^ u m Um’ 
Donc la double substitution dont il s’agit donnera pour résultat 
1 1 V 1 
hy “ kpx ' U " sin^ siu+ »î. .. ,sin 4 
On voit maintenant que pour que cette équation s’accorde avec l’équa 
tion proposée j- = ^^ , il suffit de déterminer le module h par la formule 
h = pfk ? sin 4 sin 4 sin 4 et 6 .,.. sin 4 ct p _ x , 
ou, en substituant la valeur de fZ tirée de l’équation (8), 
(9) h = k p sin 4 ct x sin 4 a 3 sin 4 ct s sin 4 cq,_ 4 . 
U 
Par ce procédé très simple, il est constaté que l’équation ^ - y 
satis- 
fait, pour toute valeur du nombre impair p, à l’équation différentielle dont