262 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
terminer les signes des nombres A correspondans à chaque valeur par 
ticulière de x, de manière que la somme des fonctions prises avec les 
signes proposés soit égale à une constante connue, jointe à N autres 
fonctions dont les variables seront déterminées par le moyen des f/. — N 
valeurs données de x. Il pourra arriver qu’une ou plusieurs paires de 
ces variables soient imaginaires, mais la solution n’en existera pas moins 
analytiquement. 
§ VIII. Suite des mêmes recherches, appliquées successivement 
a une seconde fonction de la premiere espece et à deux 
fonctions de la seconde espèce. 
276. En appliquant à l’intégrale j*~ * ^ ce que nous avons dit en 
général (n° 220) de l’intégrale ^ j> <P# étant un polynôme en x du 
degré A, on voit que Çest une seconde fonction de la première 
espèce, et que J-^ et j âf") sont c ^ eux f° nct ions de la se 
conde espèce; il est inutile, d’ailleurs, d’admettre dans l’intégrale 
f 7 T 1 * resu ^ te c ^ e supposition fx=x‘{x — a), des puis 
sances de x plus élevées que la troisième, puisqu’on a prouvé que l’inté 
grale /où est un polynôme en x du degré A, peut toujours 
se ramener à des intégrales semblables, dans lesquelles l’exposant e est 
moindre que > — 1. • 
Pour distinguer les nouvelles intégrales de celles que nous avons consi 
dérées jusqu’ici, nous désignerons f~^ ) et par 4,x et 
4',x; semblablement et J—~~ par 4 a x et 4' a x. 
Si nous partons d’une équation 24x = C , trouvée pour la plus 
simple des fonctions de la première espèce, il suffira de changer les fonc 
tions 4x en fjX, et les fonctions ^'x en —f'tX, et l’on aura sembla 
blement 24.x = C,, C, étant une constante déduite de C, en mettant 
4,1 à la place de 4 X > et —4 « v a la place de 4 ‘5* C* es résultats, indiqués 
par la théorie précédente, vont être vérifiés dans différens exemples; mais