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356 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
prise depuis x = o jusqu’à x — i , si l’on appelle T' l’intégrale 
z 1 ^ 2 cl OC • A 
/ ^/( I _prise entre les mêmes limites, on aura 
4, = T- + - A’T' + i4* 4 T‘ + etc.; 
T 9, 2.4 
mais en mettant x 3 à la place de je , l’intégrale appelée T‘ devient 
i/’.r *dx(ï—x) a , et ses limites sont toujours x — o et x = 1. 
Or, par les formules connues, l’intégrale T 1 , sous cette dernière forme, 
a pour valeur 
T* = i r ( z ‘ + j) r î 
2 ' r {i + f) 
Dans le cas de ¿ = 0, on a T° = £ r * .f *■ = Dj/2 , en supposant. .. 
A 4 
D — F 1 ( sin 46° ) ; ensuite on aura 
T* 
■ T -, T* = -T', T 3 = -â-T‘, etc.; 
donc la fonction cherchée 
4. = »1/2(1 + ifr.i + + etc.), 
et l’on a par conséquent la formule générale 
t c "h' t 1) — i 1 . / • * £ 0 \ / t ^ 1 * l'ht x. S . ï.3.5,/. 1.5.0 \ 
-T/—,—n = 2 r (sm 45°) ( I + - A â . 5 -j 7 A 4 T->A 6 . r Ih-f- etc. ), 
V/(2 + 2^) v 7 \ a 3 2.4 3.7 1 2.4.6 3.7. Il ' J 
Si l’on fait A = o, on a c = b, et l’équation devient identique. 
Seconde forme, sL'x = /- 
Y J V 
Limites x 
x *dx 
p/[(r a — 1) (1 — A- a * 2 )]' 
= T > x = î- 
322. Soit encore 1 + = p.r, on aura 
[x* 
1) (1 — k 2 x*) = x* (1 -f- 2k -j- A* — p*), 
x” *dx 
—fviii + iÿ-jp'r 
mais, en vertu de l’équation supposée, on a 
1 + k* x — x*\/(p -{- 2L} ) , 
1 — k*x = db. x*\/(p — 2A 5 ) ,