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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

TROISIÈME SUPPLÉMENT.
33 7
le signe ambigu étant -f- si Ton a , et — si Ton a x >■ j de
là on tire
= l\/(/> 4* 2F) d= |v'(p — 2 ^)>
kT^ dx — — ‘ dp =c ïdp -
V(jp-j-2/f 1 } \\p — 2 ^V
et enfin
4 " _ “A
Ì dp
-P r i d E .
\/{p + 2^ï). v/[(I H- ky — p 1 ] J s/(p — 2**) ■ l/CC 1 4 *) a —P a ]
Pour avoir la première partie, soit d’abord p — u*— 2k*, et ensuite
u — (1 4 Æ T ) cos w î on aura cette partie
p P d* F (à, a) #
J \/\ 2 •+■ ik — (1 + k*y sin 2 a>] 2 ^
on aura de même la seconde partie P' = , ce qui donne sans
ambiguité
1 / F {b, «) + F (c, a)
4^— v4 2 -M*)
Quant aux angles co et co', ils se déduiront immédiatement de x au moyen
des équations
1 1
1 -f- k ,j - x f 1 — k 2 x
COS CO = —TT T\ f C0S 00 —
^ a (x—k 2 )
Nous avons mis dans la formule F (c, a/), sans ambiguité de signe,
parce que l’angle a/, déduit de cos co', croît continuellement depuis
x = 1, où l’on a co' — o, jusqu’à x où l’on a ¿y'= 7r; la valeur
intermédiaire x = -4r donnerait co' = - tt. Il n’en est pas de même de
\/ K 2
l’angle où , qui croît depuis x = 1 jusqu’à x = ^ , et qui décroît ensuite,
suivant la même loi, depuis x = ^7 jusqu’à .r = Dans cette dernière
limite, on a donc à la fois co = o et co' = ne ; d’où il suit que la fonction
complète 4/ ^ est ainsi exprimée ;
aF'c
+ î =
\/(2 -f- 2*)‘
Tome III.
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