4o FONCTIONS ELLIPTIQUES,
Maintenant que la fonction F (Æ, <p) est transformée en une autre fonc
tion F(A, 4)> dont le module est plus petit que k, on pourra faire une
suite de semblables transformations, dans lesquelles le module h sera rem
placé par un module plus petit h x , celui-ci par un module plus petit /¿ a ,
et ainsi à l’infini ; ce qui formera la partie décroissante de l’échelle k y h,
h xy /? a , etc. ; et les transformées correspondantes de la fonction F(Æ, <p) se
ront données par les formules
F {k, <p)=spF(h, 4), F (h, 4)=^ I F(A 1| 4,), F {h x , 4,)=^ a F(^ a , 4.)» etc -
Il est inutile d’ajouter que l’amplitude 4i se déduira de l’amplitude 4 ?
suivant la même loi que 4 se déduit de <p \ qu’il en sera de même de
4» 5 par rapport à 4i ? et ainsi à l’infini.
En considérant donc la partie de l’échelle dans laquelle les modules
forment une suite décroissante, le calcul des amplitudes qui accompagnent
ces modules n’est sujet à aucune difficulté, et s’exécute par des formules
rationnelles de même forme ; mais le passage d’un module à l’autre, par
exemple, du module h au module h x , exige qu’on calcule, pour le mo
dule h y des auxiliaires analogues aux quantités a,, a a , a 3 , etc. , calcu
lées pour le module k.
47. Voyons maintenant quels sont les moyens d’effectuer de semblables
transformations dans l’ordre inverse , c’est-à-dire dans l’autre partie de
l’échelle. Si l’on regarde F(7?, 4) comme la fonction donnée, il faudra
d’abord déduire le module k du module plus petit h. Pour cela , le meil
leur moyen serait de recourir à l’équation algébrique qui existe toujours
entre deux modules consécutifs k et h j car cette équation > qui servira à
déduire le module k du module plus petit h, servirait semblablement à dé
duire le module k x du module plus petit k, puis k 9 de k x , et ainsi de suile v
Mais l’équation dont nous parlons, qui est déjà assez compliquée pour le
cas de p = 5, le serait bien davantage pour de plus grandes valeurs de p.
En attendant que la théorie fournisse les moyens de parvenir plus aisément
à cette équation, on pourrait y suppléer par les formules (/¡Q a ) et (4ç)£) du
théorème II, qui servent à calculer k' et p! par le moyen des quantités £„,
qui, elles-mêmes, sont calculées d’après la valeur connue de h'. Or, con
naissant k' et p', on connaît k complément de k! et p = —7. Ainsi les for-
PM-
mules citées serviront à déterminer k et p par le moyen de h , et
à former l’équation F (11, 4 ) =“F(Æ, <p) = rF (Je, <p) ; elles peuvent,
par conséquent , aussi servir à déterminer k x par le moyen de k : en sorte
