PREMIER SUPPLÉMENT. 45 
§ VI. Usage des memes théorèmes dans la multiplication et la 
division des fonctions de première espèce. 
52. Nous avons déjà remarqué que les formules données par les deux 
théorèmes, savoir, F(£, <p) = juF(à, 4)? F(/z, 4) == /¿F(k, &), con 
duisent immédiatement à l’équation 
F{k, «) = pF (Je, (p), 
qui servira également à la multiplication des fonctions et à leur division par 
le nombre impair p. 
On voit d’abord qu’étant donnée l’amplitude <p de la fonction simple 
F(Æ, <p), il faudra chercher l’amplitude 4 de la fonction auxiliaire F(h, 4)> 
au moyen de la formule (82) du théorème I er , laquelle donne la valeur de 
sin 4 ? exprimée par une fonction rationnelle de sin <p ; ensuite , on fera 
usage de la formule (44) du théorème II, qui donne semblablement l’ex 
pression de sin ca en fonction de sin 4- D’ailleurs , on connaît la loi que 
suivent, dans leurs accroissemens, les amplitudes (p et 4 ? ainsi que celle 
qui a lieu dans les accroissemens des amplitudes 4 et Ainsi la détermi 
nation de sin ça par sin (p fera connaître, sans ambiguité, la valeur de ¿y dé 
duite de celle de (p. 
On peut supposer que la valeur de sin 4 en sin donnée par le théo 
rème 1 er , est substituée dans la formule (44) du théorème 11, et alors on 
aura immédiatement l’expression de sin co, laquelle sera donnée par une 
fonction rationnelle de sin (p, dont le numérateur est un polynôme du de 
gré /?“, avec tous les exposans impairs, et le dénominateur un polynôme du 
degré p— 1, avec tous les exposans pairs. Cette substitution peut être cen 
sée satisfaire au problème que nous nous étions proposé n° 22, tome I er , et 
qui consiste à trouver l’expression générale de sin (p m et cos <p m en fonction 
de sin cp et cos <p. 
Nous remarquerons cependant que la solution qui vient d’être indi 
quée suppose connues les quantités a m et £ B pour toute valeur de m. Ces 
quantités peuvent se déterminer par les équations algébriques dont elles 
dépendent, ou par les méthodes d’approximation ; mais elles sont en quelque 
sorte étrangères au problème dont il s’agit, et elles doivent disparaître dans 
le résultat final, qui ne peut contenir, tant au numérateur qu’au déno 
minateur , que des coefficiens exprimés en fonctions rationnelles du mo 
dule k. Ainsi, le problème de la multiplication des fonctions n’est en-