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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

46 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
core résolu que d’une manière incomplète , et qui laisse beaucoup à
désirer.
11 en est de même, à plus forte raison, du problème de la division des
fonctions; cependant, comme ce problème présente, en général, une équa
tion à résoudre du degré il fuit avouer que l’application de nos deux
théorèmes sert à diminuer beaucoup la difficulté. 11 faut, pour l’usage de
ces formules, calculer préalablement les quantités ct m et , qui servent à
diviser les fonctions complètes F'Æ et F 'h' en p parties égales. Ces quantités
étant connues, la division de la fonction F {k , c’est-à-dire la détermination de l’amplitude

F (^, savoir, l’équation (44) > pour déterminer sin ^ par le moyen de sin a>, et
l’équation (82), pour déterminer sin par le moyen de sin On voit, par
conséquent, que sin 4, sert d’auxiliaire pour décomposer l’équation du de
gré p 1 en deux équations du degré p.
Les choses se simplifient ultérieurement dans les cas particuliers, ainsi
qu’on le verra ci-après dans le développement des cas de p = 3 et p = 5.
§ VIL Usages de léquation transcendante — p
53. Nous remarquerons d’abord que le théorème contenu dans cette
équation s’accorde avec ceux que nous avons trouvés sous une autre
forme n° 85 et n° 190 du tome 1 er ; le premier, pour le cas de p = 2 ,
qui est celui de l’échelle ancienne, et le second, pour le cas de p — 3,
qui est celui de la seconde échelle dont nous avons traité dans le cha
pitre XXXI. C’est donc un résultat général qui s’applique non-seulement
à tous les nombres impairs sans exception, mais même au cas de p=‘2, qui
se rapporte à l’ancienne échelle.
K. H
La formule ^ = ¿7^p représente, sous la forme transcendante, l’équation
algébrique qui existe toujours entre deux modules consécutifs k et h, pris
dans l’échelle dont l’indice est p, k étant le plus grand des deux. On aura
semblablement, entre les modules h et h x , l’équation entre h x et
H H
l’équation gf z=zp^~ , etc.; donc
3 H a
R
H
H.