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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

PREMIER SUPPLÉMENT.
47
et, en général, ^ = p m+l ^. C’est la relation qui existe entre le mo
dule k et le module h m , qui occupe le rang m~f- i , après k , dans la suite
décroissante k, /¿, A 13 /¿ a , etc. On aura donc semblablement, entre les mo
dules k m et k, l’équation ~ ; car le module k est placé au rang
/72, après k m , dans la série décroissante A m , A; m _,, . .. . A: 2 , /g,, k. Cette
même équation, sous la forme
R_ — J_’ ÎÇl
K' p“ * K' m *
contient une relation directe entre le module k et le module k m , qui occupe
le rang 772 , après A, dans la série croissante A:, k x , k a .• .. A m .
Les transformées successives de la fonction F (A;, mules du tbéorème 1 er , et dans l’ordre des modules décroissans, sont don
nées par les formules
F (A, F(/2, 4)=A t .F(Æ 1 ,4.), F(A r , 4i)=^F(^ a , 40? etc.,
\ i) I K I H x H,
ou Ion a , u l = - . —, u a etc.
' p H 7 1 p H, 7 p H a 7
ïl en résulte les valeurs successives
*■'(*.«= ^F(A, 4) = j.|F(A, 4),
F(*, F (A, etc.
Donc on peut passer immédiatement du module k au module h, n , pris
dans la série décroissante, par la formule
F (k, ip)= —F_,. ~ .F(A m , 4.)-
/* X J 771
On passera de même du module k au module k m , pris dans la série
croissante, par la formule
F {k, = .F (k m ,

AV 77l
54- Dans le premier cas, l’amplitude 4m se déduit de l’amplitude précé
dente 4m—i j suivant la même loi que 4 se déduit de équation qui exprime rationnellement sin 4 en fonction de sin blement sin 4m en fonction de sin 4m- t -