RÉSOLUTION DU PROBLEME DE DIRICHLET 
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et désignons par a le rayon de S'. Puisque l T n est harmonique 
dans S', on a : 
/1 0 O 
cl" 
'-1 
r T/ 
4~ar 3 
do/ 
Posons 
On a : 
D’où : 
Donc la série 
A. 
A n =f l/ n do/. 
J(S/) 
n * 
Y A B = / SU' n dw'. 
J(S/) 
1 
0 <Y A n < 4~a 2 K. 
1 
-h A,+ + A„ -f-.. 
dont les termes sont tous positifs, est convergente. 
Posons : 
a 2 — p 2 
Attîi i* 3 
= Q>0. 
Il est clair que r ne s’annule jamais, si, comme nous le suppo 
sons, M reste dans S et M/ sur S'. On a : 
r > a — b, 
en appelant I) le rayon de S. Donc 0 ’et ses dérivées successives 
sont des fonctions qui restent toutes finies. Posons : 
|9|<B. 
< B.,, etc. 
(Vj 
<B,. 
de 
<B„ 
oe 
<B. 
d*Q 
dx 
dz 
d\- 
On a : 
U n 
= / U'/klo/. 
J(S') 
0U„ 
- r v.JL, 
dx 
J St) dx 
d-U„ 
- f o' ,v,i 
M n 0x2 
... etc. 
dx â 
do/ 
- do/