214 THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
D’où : 
U n <B 0 A n 
ôU„ 
Ox 
OMJ 
— <B,A„ 
Ox 2 
otc. 
Considérons alors les séries : 
U t + u 2 + + U.+. 
ou, ou., ou„ 
ôx 1 Ox 
0*U, ô 2 U„ 
Ox 
o*u, 
Ox 2 
Ox* 
Ox* 
Elles sont toutes comparables à la série : 
Aj + A 2 -f- -+- A n .. 
Donc elles sont toutes absolument et uniformément conver 
gentes dans S. On conclut de la que leurs sommes sont des fonc 
tions continues dans le même domaine et qu elles ont respective 
ment pour valeurs 
U, 
OU 
Ox ’ 
0 2 U 
Ox 2 ’ 
etc. 
Par suite U a des dérivées de tous les ordres dans S. 
D’autre part, en vertu de ce qui précède, on peut écrire : 
AU =2AU n 
et comme : 
AU n = 0, 
on déduit de là : 
AU = 0. 
Donc la fonction U est harmonique dans T : le théorème de 
Harnack est démontré.