RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICIILET 
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en possède toujours effectivement une. Cette proposition porte 
le nom de Principe de Dirichlel. 
Il est clair que toutes les considérations précédentes pour 
raient être répétées sans modification pour le cas du plan. Seu 
lement, on n’a plus besoin alors, en ce qui concerne le problème 
extérieur, de dire d’avance comment la fonction cherchée doit se 
comporter à l’infini. 
La méthode de transformation par rayons vecteurs récipro 
ques indiquée par Thomson et exposée au chapitre V permet de 
ramener le problème extérieur au problème intérieur. Nous ne 
nous occuperons donc ici que du problème intérieur. 
Commençons par établir quelques propositions qui nous seront 
utiles. 
117. Comparaison des fonctions harmoniques et des potentiels. 
— Envisageons (fig. 79) une surface fermée S délimitant un 
domaine intérieur T, et un domaine 
extérieur T.,. Nous supposerons que 
la surface S possède en chacun de 
ses points un plan tangent unique et 
deux rayons de courbure principaux 
bien déterminés. 
Soit maintenant une fonction Y 
présentant les caractères suivants : 
1° La fonction Y est harmonique 
it l’intérieur et à l’extérieur de S, 
c’est-à-dire dans tout domaine con 
tenu dans Tj comme dans tout do 
maine contenu dans T 2 . 
2° La fonction Y est régulière à 
O 
l’infini et s’y comporte comme un 
potentiel newtonien. 
3° Soit un point situé à l’intérieur de T r Considérons un 
point M de S. Si M, tend vers M en suivant un chemin quel 
conque assujetti seulement à rester à l’intévieur de T,, les 
expressions : 
dV