VERMESSUNGSTECHNIK, 12. Jg. (1964) Heft 4 
Betrachtungen zur rechnerischen Bestimmung der Modellpunkte 
Von Prof. Dr.-Ing. habil. H. J OCHMANN (KDT), Technische Universität Dresden dk 528.721.122 
Eine Teilaufgabe der analytischen Photogrammetrie ist 
die Berechnung der Modellpunkte aus den gemessenen 
Bildkoordinaten. Die Lösung dieser Aufgabe erfordert 
einige Überlegungen, da infolge restlicher Orientie 
rungsfehler und Fehler der Bildkoordinatenmessungen 
sich homologe Strahlen in der Regel nicht schneiden 
werden und demnach der Modellpunkt nicht als Schnitt 
punkt zweier homologer Strahlen existiert. Man muß 
daher bezüglich der Definition des Modellpunktes An 
nahmen machen, die gewährleisten müssen, daß der be 
treffende Punkt an einer Stelle liegt, an der sich beide 
Strahlen möglichst nahe kommen. 
Die mathematisch plausibelste Lösung ist zweifellos die 
Annahme, daß das Mittel aus den Punkten auf beiden 
Strahlen, die sich am nächsten kommen, der Modell 
punkt ist. Geometrisch erhält man die beiden Teil 
punkte, indem man als Verbindungslinie eine Gerade 
definiert, die senkrecht zu den beiden homologen Ab 
bildungsstrahlen steht. Die vorstehend dargestellte Lö 
sung wird von verschiedenen Autoren (u. a. H e r g e t [1] 
und R i n n e r [2]) als Teilaufgabe bei den von ihnen 
angegebenen Methoden der analytischen Photogramme 
trie benutzt. Sie kann als strenge Lösung bezeichnet 
werden, und im allgemeinen werden sich bei ihr die 
beiden Teilpunkte in allen drei Koordinatenwerten 
unterscheiden. 
Neben dieser wurde von S h u t [3] eine zweite Methode 
zur Berechnung des Schnittpunktes in der analytischen 
Photogrammetrie eingeführt, die voraussetzt, daß sich 
die beiden Teilpunkte nur in y unterscheiden dürfen, 
während ihre x- und z-Koordinatenwerte gleich sind. 
Diese Lösungsmethode, die eine einfachere Berechnung 
gestattet, wird nur gute Näherungswerte liefern, wenn 
die x-Achse in Richtung der Basis liegt. 
Die nach beiden Methoden berechneten Modellpunkte 
werden sich in ihren Koordinatenwerten unterscheiden. 
Die Größe dieser Differenz ist ein Maß für die Brauch 
barkeit der zweiten Methode. In den folgenden Be 
trachtungen sollen die Differenzen zwischen den nach 
beiden Methoden berechneten Werten ermittelt werden, 
um Grenzen für die Anwendung des Näherungsverfah 
rens ziehen zu können. 
1. Der Einfluß von Orientierungsfehlern 
Nimmt man zunächst an, es liege der Normalfall der 
Photogrammetrie vor, so kann man aus den Bildkoordi 
naten der in den Punkten Oj und Oo (Bild 1) erhaltenen 
Aufnahmen die Vektoren 
Vl = 
und 
(1) 
in Richtung der Abbildungsstrahlen berechnen. Für die 
folgenden Untersuchungen kann angenommen werden, 
daß nur x' 2 infolge restlicher Orientierungsfehler des 
orientiert sei. Man erhält den desorientierten Vektor 
nach 
r 2 = 91 r 2 
mit der Matrix 
= ( d« 
\ - d q> 
— dx d<p \ 
1 da) I 
— dco 1 / 
(2) 
(3) 
Mit Gl. (1), (2) und (3) kann man den auf n liegenden 
Teilpunkt nach der Formel 
X' — Aj Ti = b + d b + Ä 2 v 2 "b fr (4) 
berechnen. In Gl. (5) ist 
die Basis im Bildmaßstab und 
db«^d&,j (6) 
sind Translationen von O2 gegenüber der idealen Lage 
beim Normalfall, ebenfalls im Bildmaßstab. Der Vek 
tor b gibt die Differenz zwischen den beiden Teilpunk 
ten £ und j" an. Er muß entsprechend der gewählten 
Berechnungsmethode festgelegt werden. 
1.1. Strenge Lösung 
Die strenge Lösung hat zur Voraussetzung, daß b senk 
recht zu ri und 12 stehen soll, d. h. 
bl -*.-*!** 
*ixt 2 | 
Aus Gl. (4) ergibt sich mit Gl. (7) 
(7) 
di = — (b + db) 
L x v 2 
|ti x r 2 | * 
(8) 
Die Faktoren h und ¿2 erhält man aus Gl. (4), nach 
dem bi durch skalare Multiplikation mit ti und 12 eli 
miniert wurde, zu 
((b + db)rx)r| - ((b + db)r 2 ) (r t r 2 ) 
xf r| - (ri r 2 ) 2 
(9) 
((b 4 dblrQfat,)- ((b + db)t 2 )r 2 
v? r§ - (r x r 2 ) 2 
Mit diesen erhält man 
und 
Ii-Ai.it!, l'i = b + db + A 2jl r 2 
£1 = 
l'i + £1 
2 
(10)