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Dans beaucoup d'applications cependant, m(x) n'est manifestement pas constante : si on 
étudie une montagne, l'altitude décroft du sommet vers la vallée ; la moyenne m(x) présente alors 
une dérive. 
D'autre part, dans de nombreux cas, seuls les accroissements de la fonction aléatoire, 
et non la fonction aléatoire elle-même, admettent des moments d'ordre2. 
Nous ferons donc les hypothèses suivantes : 
1/ La dérive m(x) = E[Z(x)] est suffisamment régulière pour être représentée localement par 
une expression de la forme : k 
== 1 
m(x) = 5 a, fx) 
1=0 
Les fonctions Ü sont des fonctions choisies à l'avance, généralement des monômes ; les 
a. sont des coefficients inconnus. Dans le cas où la moyenne est constante, la seule fonction de 
base est f = 1 ; on a bien alors m(x) = a, 
2/ La variance de l'accroissement Z(x +h) - Z(x) ne dépend que du vecteur h. On pose : 
y(h) - i p? [Z(x +h) - z(x)] (Le symbole p? désigne la variance) 
y (h) est le demi-variogramme. Quand la covariance existe, on a : 
p(h) = C(o) - C(h) 
Le demi-variogramme est une fonction du vecteur h qui synthétise la structure de la va- 
riable. À direction fixée, il indique comment varie, en moyenne quadratique, l'écart des valeurs 
prises en deux points x et x+h en fonction de la distance (h). Il renseigne sur les anisotropies 
éventuelles et sur le degré de régularité de la variable. A une variable trés continue correspond 
un demi-variogramme trés régulier à l'origine, et inversement à une variable présentant de fortes 
irrégularités trés localisées correspond un demi-variogramme présentant une discontinuité à 
l'origine, appelée effet de pépite. 
LE KRIGEAGE 
Ces bases étant définies, il nous est possible de résoudre le problème de l'interpolation 
optimale, c'est-à-dire de l'estimation optimale d'une valeur Z(xg) inconnue à partir des données 
expérimentales disponibles ; c'est ce que nous appelons le krigeage. Connaissant donc les valeurs 
Z(x4) de la variable en n points X4, X9... x,» NOUS allons former un estimateur Z* de la valeur 
O 
conditions suivantes : 
- l'espérance de l'erreur Z*- Z(x 5) est nulle 
Z(x, )inconnue de la forme Z* => 4 * Z(x,). L'estimateur optimal est celui qui vérifie les deux 
a 
- la variance de l'erreur Z*- Z(x.) est minimale 
D'après l'hypothèse faite sur la forme de la dérive, la première condition s'écrit : 
a 1 = 
EN fo ov f(x) = 0 
a n 1 
c'est-à-dire : 
al 1 t 
| ya [oA fx f (x )] = 0 
a X 
Les coefficients a, étant inconnus, nous sommes conduits à imposer cette condition quels 
que soient les a4. Cela revient donc à imposer : 
1 
aff) pour] * 0 k 
E o 
La variance de l'erreur s'explicite alors en fonction du demi-variogramme : 
2 = a ; - 9 - 
D [2*- 2(,)] = $34 AP y, x) 272 FU. x) 
a 
Ia minimisation de cette variance compte tenu des k+1 conditions précédentes conduit 
au système de krigeage où figurent k+1 paramètres de Lagrange Hà C 
Sa x -x)*2Zu Hx ) = s(x, x9 pour a = lan 
B ß a 1 1 a O 
Rate Pd pour f room 
a 
- 43 —