Von der Rugel und Rund-Säule.
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(das iſt/ BF) ſambt BX (das ift/ F X) gegen B X, alſo L X gegen DX; und
(nach der Folge des joden im V.) F X gegen FB, wie LX gegen LD ; und
umbgekehrt! vie L D gegen L X, alſo FB gegen FX. Wieaber F X ferner ſich
verhält gegen F H. alſo iſt yt verwirtter Verhältnis ( perturbate) K L gegen
LD, wie vorgeſagt : deroiMegen verhalten ſich gleichdurchgehend ( ex æquo)
[vie B F gegen F H . alſo K L gegen L X, vermög des 23ſten im V. und zer-
teihlet wie B H gegen H F , alſo K X gegen X L ; und umbgekehret X L gegen
KX, wie H F gegen BH. dasiſt ( vermög obiger Auflöſung ) wie P gegen s.
Wie ſich aber X L gegen K X verhält - ſo verhält ſich der Kegel AL C gegen
dem Kegel AR C- (das iſt/ nach dem vorhergehenden Lehrſatz/ das Kugel-
ſtükf A D C gegen dem übrigen A BC ) vermösg des 14den im X [ 1. Derotive-
gen verhält ſich auch das Kugelfzütk ADC, gegen dem übrigen A BC, wie P
gegen 8 ; Welches hat ſollen bewieſen werden.
Anmerkungen.
Der Aufgab iſt alſo ein ganzes und volles Genügen geſchehen / ivann nur eines und das
andere/ ivelches Archimedes als getwiß ſeßet / und wir biß daher verſchoben haben, zuvor rich-
tig und getviß gemachet wird.
1. Daserſte iſt / daß erin der Grundforſchung als bekant nimmt / tveil R L gegen XL
eine getviſſe Verhältnis hat/ und L D zwiſchen beyden genqmmen tvorden/ daß daher ertvähnte
Verhältnis zuſammgeſetzet ſcy aus denen zweyen/ nehmlich des K L gegen dem LD und des
L D gegen dem X L ; und alſo gleichſam auf dieſen gemeinen Sas ſich beruffet :
Wann zwiſchen zwey gleegttebene ein mittleres geſetzet wird / ſo iſt die
Verhältnis derer erſtgegebenen zuſammgeſetzet aus der Verhältnis des er-
“sh gegen dem mittlern und aus der Verhältnis des mittlern gegen dem
ss zu förderſt muß gelehret iverden/ tvas da heiſſc eint Verhältnis aus zkveyen oder
mehr andern zuſammſeten ; nehmlich / nach der sten 1Vorterklärung im V I. B. Lucli-
dis/ die Gröſſen/ das iſt/ dieNenner oder Nahmen derer gegebenen Verhältniſſen in einander
führen oder miteinander vervielfältigen / und dardurch eine neue Verhältnis herfür bringen.
Also daß die Meinung des gegentvärtigenSates iſt: Wannman ziviſchen ztvey ein drittes oder
mittlexes ſetzet/ und nachmals die Nenneroder Nahmendererbeyden Verhältniſſen / des erſten
gegen dem mittlern und des mittlern gegen dem lezten / miteinander vervielfältiget / ſo kommt
eben die Verhältnis heraus/ welche da hat das erſte gegendemlezten ; oder vielmehr/ es kommt
Heraus der Nahme oder Nenner ſolcher Verhältnis/ ælſo daß/ tvann das lezte mit ſolchem Nen-
ner verbielfältiget tird / das erſte heraus komme, wie inallen Verhältnissen zu geſchehenpfle-
get. Zum Exempel/ iwann ichztviſchen zwey gegebene Zahlen/ 1 2 und 2/ setze eine mittlere/ 4/
ſo iſt z der Nenner der erſten Verhältnis/ 12 gegen 4 / und 2 der Nenner der andern Verbälts
nis/ 4 gegen z. Wann ich nun z mit 2 vervielfältige/ kommt 6 / als der Nenner der Verhälts
nis/ 12 gegen 2 ; dann 2 mit 6 vervielfältiget/ bringt 12. Alſo/ wann ich z zwiſchen 1 2 und
2 ſetze/ und die ziveyNenner 4 und 12 miteinander vervielfältige/ kommt "?/ dasiſt/ ivieder 6/
für den Nenner der Verhältnis 12 gegen 2 ; und ſolches allezeit / es möge für eine Zahl dar-
zwiſchen geſetßet werden/ als immer tvolle. Und darumb ſag ich nun / die Verhältnis 12 gegen
2 ſey aus jeden ſolchen ziveyen zuſammgeſctet.
Damit aber/ was hier durch ein Exempel erkläret ivorden/ auch durch
einen richtigen Betveiß bekräfftiget iverde/ wollen tvir zu förderſt des Lu-
tokii ſeinen kürzlich bepbringen / nachmals einen gar leichten und augen-
ſcheinlich/ jedoch darbey allgemeinen/ hinbeyfügen.
Es seyennungegeben (sagt Lurokius ) zwey Dinge A und B, die
eine gewiſſe Verhältnis gegen einander haben/ und zwiſchen- eingeſeset
ein drittes/ C. Soll nun erwiesen werden / daß die Verhältnis A gegen
B, aus denenztiveyen/ des A gegen C und des C gegen B, zuſammgeſetet
ſey. Jch ſeße nun/ der Nenner der Verhältnis A gegen C sey D , der an-
dernaber / des C gegen B, ihr Nenner [ey E: und tvas aus E in D e!
„VIC4,
