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CQD die entsprechende Schwerlinie QM ziehen, wo M der Mittelpunkt 
von CD ist. Entsprechende Schwerlinien in ähnlichen Dreiecken teilen 
dieselben wieder iu ähnliche Dreiecke; also ist O(AQ) — M(CQ) oder 
O(NQ) — M(NQ), also liegen M, O, N, Q auf einem Kreise. Da 
M(OIss) = 90°, so ist auch Q(ON) = 90°, also NQ Tangente an Kreis O. 
Bem. Als besonders wichtig erscheint hier die Einführung der 
Mittelpunkte O und M von PQ und CD. 
44. Das Parallelogramm, dessen Ecken die Mittelpunkte der Seiten 
eines beliebigen konvexen Vierecks sind, ist halb so groß als das Viereck. 
Bew. Die Flächen von Figuren führt mail wesentlich auf Pa 
rallelogramme und Dreiecke zurück. Zur Anwendung bei der Ver 
gleichung von Figuren in Bezug auf den Flächeninhalt kommen die 
Sätze: Parallelogramme und Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe 
sind gleich; das Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms von 
gleicher Grundlinie und Höhe. Dreiecke und Parallelogramme verhalten 
sich wie die Produkte von Grundlinie und Höhe. Ähnliche Dreiecke ver 
halten sich wie die Quadrate entsprechender Seiten oder Linien. 
Es sei nun ABCD ein beliebiges Viereck (Fig. 28), E, F, G, H 
die Mittelpunkte der Seiten AB, BO, CD, DA. Das Viereck müssen 
wir in Dreiecke zerlegen, wir ziehen daher die Diagonale BD, wodurch 
auch das Parallelogramm EFGH in 2 Teile EKJH und EGJK 
zerlegt wird. Jedes dieser beiden Parallelogramme ist die Hälfte der 
entsprechenden Dreiecke, da sie die halben Grundlinien und Höhen haben, 
daher auch das ganze Parallelogramm die Hälfte des Vierecks. 
45. Der Inhalt des Dreiecks wird durch den Ausdruck dargestellt: 
z f (i' +1" +1"') (t" + t"' -1') (t'" +1' - t") (t' +1" -1'") . 
Bew. Wir setzen voraus, daß der Inhalt des Dreiecks 
durch den Ausdruck gegeben wird: ]/ p(p — a)(p — d)(p — c) 
= \ )/ (a + b + c) (b + c —- a) (c + a — b) (a + b- c) 
= \ ]/ 2b 2 c 2 4- 2c 2 a 2 4- 2a 2 b 2 — a 4 — b 4 — c 4 . 
Die Gleichartigkeit des Allsdrucks durch die Schwerliiliell uild durch 
die Seiten führt dazlt, das gegebene mit einem andern zu vergleichen, 
dessen Seiteil gleich oder proportional ben Schwerlinien sind. Ein 
solches kann mail leicht erhalten. Ist (Fig. 10) ABC das Dreieck, 
AD eine Schwerlinie, G der Schwerpunkt, und wird GE = AG ge 
macht, so ist BGE ein Dreieck, dessen Seiten z der Schwerliiliell sind, 
llild dessell Inhalt z des gegebeneil Dreiecks ist. Daher ist 
A 
oder 
A = z i (t' + t' T + t'") (t" +1"' -1') (t'" + t' -1") (t' + t" - t'")