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I s = o , Zq cp = o 
oder Z s = r 2 % , Z q cp = 2 q n 
und die vorstehende Gleichung, verbunden mit der 
Gleichung (B) giebt 
J + i = r u (0) 
oder 
J + i = (r 2 — 2 r e) 7t + ru (P) 
— Alle vorangehenden Resultate gelten auch dann 
noch, wenn eine der Curven X oder Z Knoten bil 
det, vorausgesetzt, dass man den von einer solchen 
Curve begränzten Flächeninhalt in nachfolgender, 
auch sonst angenommenen Weise delinirt: 
Bildet eine Curve Knoten, wie z. B. die in Fig. 
29 dargestellte, so kann man sie in Stücke zerlegen, 
deren jedes für sich einen zusammenhängenden Raum 
abgränzt. Fallen zwei solche Flächenräume in ein 
ander, wie z. B. cf. und ß oder a und y, so werden 
sie als übereinander gelagert betrachtet. Diese Flä 
chenräume sind theils als positiv, theils als negativ 
anzusehen; und zwar nach folgender Regel: Durch 
läuft ein Punkt die Curve nach ihrem stetigen Zug, 
so wird er die einzelnen Flächenräume theils recht 
läufig (von links nach rechts), theils rückläufig um 
schreiben. Die Flächenräume der ersten Art (wie 
«, /3, e) sind als positiv, die der zweiten Art (wie 
y und Ö) als negativ anzusehen. Die algebraische 
Summe aller Räume, also in der Figur a + ß — y 
— d + e, ist der Inhalt der Curve. 
11. 
Die Fehler des Planimeters können einmal von 
einem unrichtigen Spiele der Rolle D, sodann aber 
davon herrühren, dass die geometrische Anordnung