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a n , und sein Modulus p n ist alsdann seinem Zahlenwerthe 
gleich. Hat in diesem Falle die Gleichung F (x) = 0 nur 
reelle Wurzeln, so ist ,die kleinste Wurzel nach dem Vorigen 
(abgesehen vom Zeichen) der kleinsten Grenze von (p n ) " gleich. 
Convergirt endlich der Quotient ^ n —- gegen eine bestimmte 
n—f—1 
Grenze, so kann man diese nach Cap. 2., §. 3., Lehrs. 2. für 
i 
die gesuchte Grenze von (p n ) n substituiren. Diese Betrach 
tung führt auf die von Daniel Bernoulli aufgestellte 
Regel, nach welcher die kleinste von allen Größen, durch welche 
die Wurzeln einer algebraischen Gleichung ausgedrückt werden 
(vorausgesetzt, daß diese Wurzeln reell sind), numerisch (also ab 
gesehen vom Zeichen) bestimmt werden kann. 
§. s. Summation der recurrenten Reihen und Bestimmung ihres 
allgemeinen Gliedes. 
Wenn eine nach den aufsteigenden Potenzen von x geord 
nete Reihe convergirt und zugleich recurrent ist, so ist ihre 
Summe stets ein rationaler Bruch. Denn es sei 
(1) a 0 , a x x, a 2 x 2 , . , . . a n x n , etc 
eine solche Reihe, und der Coefft'cient a n sei, wenn n eine ge 
wisse Grenze übersteigt, durch eine Gleichung von der Form 
(2) ka n _ m -j- la n _ ra+1 -f-.. .-j- pa n _4 + qa n — 0 
gegeben, so daß also die Constanten 
k, i,..., p, q 
die Beziehungsscale der Reihe bilden. Multiplicirt man die 
Summe dieser Reihe, also 
a 0 -j- a t x + a 2 x 2 -j- etc 
mit dem Polynom 
F x" 2 -s- 1 x m ~ :1 + ... + px + q, 
so ist das Product eine neue Reihe, in welcher der wie im 6 ten 
Cap., §. 4,, Lehrs. 5. berechnete Coefficient von x n für Werthe 
von n, welche die angegebene Grenze übersteigen, verschwindet, 
d. h. das erwähnte Product wird ein Polynom von demjenigen