Zykloide. 
richteten Lote at liege; somit, daß dieses die Richtung 
der Kurve im Punkte a bezeichne. Beschreiben wir ferner 
aus o als Mittelpunkt einen von a ausgehenden Kreisbogen 
mit oa\ so ist offenbar, daß dieser die Chorde om erst in 
einem Punkte r ihrer Verlängerung schneide, weil 
or = oa)> om 
sein muß. Ist nun ¡j, irgendein noch näher an a liegender 
Punkt der Kurve, so gibt es für ihn ein noch näher an a 
liegendes co in der ao von der Art, daß von der Chorde 
coju dasselbe gilt, was soeben von der om behauptet wurde, 
nämlich, daß ein aus co als Mittelpunkt mit dem Halb 
messer co a beschriebener Kreisbogen in die Verlängerung 
(oju über /j, irgendwo in g eintrifft. Wegen coa<^oa liegt 
aber der Kreisbogen ag innerhalb des Kreisbogens ar } 
also zwischen dem Zykloidalbogen ayi und dem Kreis 
bogen ar. Wir sehen demnach, daß es zu jedem, mit 
noch so kleinem Halbmesser oa beschriebenen Kreisbogen 
ar, den die Zykloide am in a berührt, einen anderen ag 
gibt, der ihr noch näherkommt in dieser Gegend; mit 
anderen Worten, daß es keinen auch noch so kleinen Kreis 
gibt, der sich als Maß der in a stattfindenden Krümmung, 
falls es hier eine gibt, ansehen ließe. Es gibt also hier 
in Wahrheit keine Krümmung, sondern die Kurve, die in 
diesem Punkte nicht endet, hat hier, wie wir schon wissen, 
eine Spitze. 
§ 48. 
Paradox hat man es auch häufig gefunden, daß manche 
räumliche Ausdehnungen, die sich durch einen unend 
lichen Raum verbreiten (d. h, Punkte haben, deren Ent 
fernung voneinander jede gegebene Entfernung übersteigt), 
gleichwohl nur eine endliche Größe, und wieder andere, 
die in einem ganz endlichen Raume beschränkt 
sind (d. h. deren sämtliche Punkte so liegen, daß ihre Ent 
fernungen voneinander eine gegebene nicht überschreiten).