%• i36.
* 20, 3.
§4 GÉOMÉTRIE.
Blais l’arc BP étant égal à CO, si on ajoute de pari et
d’autre BC, on aura l’arc CBP=BCO ; donc la corde CP
est égale à la corde BO, et par conséquent les rectangles
BOxED et CPxCA sont entre eux comme BD est à CA;
donc,
BD ; CA : : AB X BC+AD X DC ; AD X AB+BC X CD.
Donc les deux diagonales d'un quadrilatère inscrit sont
entre elles comme les sommes des rectangles des côtés qui
aboutissent à leurs extrémités.
Ces deux théorèmes peuvent servir à trouver les diago
nales quand on connaît les côtés.
PROPOSITION XXXIV.
THÉORÈME.
Soit P un point donné au dedans du cercle sur le rayon
AC, et soit pris un point Q au-dehors sur le prolongement
du même rayon , de sorte qu'on ait CP:CA CArCQ ; si
d'un point quelconque M de la circonférence on mene aux
deux points P et Q les droites MP, M^), je dis que ces droi
tes seront par-tout dans un même rapport, et qu'on aura
MP : MQ : : AP : AQ.
Car on a, par hypothèse, CP.'CA CA:CQ ; mettant
CM à la place de CA, on aura CP:CM :: CM;CQ ; donc les
triangles CPM , CQM, ont un angle égal C compris entre
côtés proportionnels; donc ils sont semblables*; donc le
troisième côté BIP est au troisième MQ comme CP est à CM
ou CA. Blais la proportion CPlCA::CA:CQ donne, divi-
dendo, CP : CA : : CA—CP : CQ—CA, ou CP : CA ; ; AP : AQ,
donc BIP:MQ:; AP:AQ.