LIVRE III. 
loa 
ionférence, 
; EF ; je dis 
3 cherché, 
r rectangle 
. au quarrë 
au quarré 
it possible, 
c’est-à-dire 
loitié de la 
un quarré 
tre eux la 
tre, decri- 
diametre, 
rre C : par 
DE; je dis 
l rectangle 
de au dia- 
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n ré. 
liagonale. 
nt de fois 
soit décrit 
DBE : on 
G avec le 
n est donc 
le quotient i avec le reste AD, qu’il faut comparer 
avec BC ou son égale AB. 
On peut prendre AF = AD , et porter réellement 
AF sur AC - on trouverait qu’il y est contenu deux 
fois avec un reste : mais comme ce reste et les suivants 
vont en diminuant, et que bientôt ils échapperaient 
par leur petitesse, ce ne serait là qu’un moyen méca 
nique imparfait, d’où l’on ne pourrait rien conclure 
pour décider si les lignes AG, CB, ont entre elles ou 
n’ont pas une commune mesure : or il est un moyen 
très-simple d’éviter les lignes décroissantes, et de 
n’avoir à opérer que sur des lignes qui restent toujours 
de la même grandeur. 
En effet, l’angle ABC étant droit, AB est une tan 
gente , et AE une sécante menée du même point, de 
sorte qu’on a * AD: AB :: AB: AE. Ainsi dans la se- * 3o. 
conde opération, où il s’agit de comparer AD avec AB, 
on peut, au lieu du rapport de AD à AB, prendre 
celui de AB à AE : or AB ou son égale CD est conte 
nue deux fois dans AE avec le reste AD ; donc le ré 
sultat de la seconde opération est le quotient 2 avec 
le reste AD qu’il faut comparer à AB. 
La troisième opération, qui consiste à comparer AD 
avec AB , se réduira de môme à comparer AB ou son 
égale CD avec AE , et on aura encore 2 pour quotient 
et AD pour reste. 
Delà on voit que l’opération ne sera jamais termi 
née , et qu’ainsi il n’y a pas de commune mesure entre 
la di; jgonale et le côté du quarré : vérité qui était déjà 
connue par l’arithmétique ( puisque ces deux lignes 
sont entre elles :: 1/2:1)*, mais qui acquiert un * n. 
plus grand degré de clarté par la résolution géo 
métrique. 
Scholie. Il n’est donc pas possible non plus de 
trouver en nombres le rapport exact de la diagonale 
au côté du quarré ; mais on peut en approcher tant