l6‘fT GÉOMÉTRIE. 
soient M et N les sommets de deux angles solides 
quelconques de l’un des polyèdres, M' et N' les som 
mets homologues de l’autre polyèdre; il faudra, sui 
vant la définition, que les droites MM', NN', soient 
perpendiculaires au plan ABC, et qu elles soient divi 
sées en deux parties égales aux points m et n où elles 
rencontrent ce plan. Cela posé, je dis que la distance 
MN est égale à M'N'. 
Car si on fait tourner le trapeze wz'M'N'«. autour 
de mn jusqu’à ce que son plan s’applique sur le plan 
raMNa; à cause des angles droits en m et en n, le 
côté mM' tombera sur son égal mM, et /¿N' sur «N ; 
donc les deux trapèzes coïncideront, et on aura 
MN = M'N'. 
Soit P un troisième sommet du polyèdre supérieur, 
et P' son homologue dans l’autre, on aura de meme 
MP=M'P' et NP=N'P' ; donc le triangle MNP, 
qui joint trois sommets quelconques du polyèdre su 
périeur , est égal au triangle M'JN'P' qui joint les trois 
sommets homologues de Vautre polyèdre. 
Si parmi ces triangles on considéré seulement ceux 
qui sont formés à la surface des polyèdres, on peut 
déjà conclure que les surfaces des deux polyèdres 
sont composées d’un meme nombre de triangles égaux 
chacun à chacun. 
Je dis maintenant que si des triangles sont dans un 
même plan sur une surface et forment une même face 
polygone, les triangles homologues seront dans un 
même plan sur l’autre surface et formeront une face 
polygone égale. 
En effet, soient MPN, NPQ, deux triangles adja 
cents qu’on suppose dans un même plan , et soient 
M'P'N', N'P'Q', leurs homologues. On a l’angle 
MNP= M'N'P', l’angle PNQ=P'N'Q'; et si on 
joignait MQ^et M'Q', le triangle MNQ serait égal à 
M'N'Q', ainsi on aurait l’angle MNQ=M'N'Q'.