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Il est visible ¿’ailleurs que les plans B'A'C', C'A'H', etc. 
sont également inclinés chacun sur son adjacent ; car les 
angles solides B', C', etc. sont égaux entre eux , puisqu’ils 
sont formés chacun avec deux angles de triangles équilaté 
raux et un de pentagone régulier. Appelons K l’inclinaison 
des deux plans où sont les angles égaux, inclinaison qu’on 
peut déterminer par la proposition xxiv, liv. v; l’angle K 
sera en même temps l’inclinaison de chacun des plans qui 
composent l’angle solide A' sur son adjacent. 
Cela posé, si on fait aux points A, B, C, des angles solides 
égaux chacun à l’angle A', on aura une surface convexe 
DEFG , etc. composée de dix triangles équilatéraux , dont 
chacun sera incliné sur son adjacent de la quantité K; et les 
angles D, E, F, etc. de son contour réuniront alternative 
ment trois et deux angles de triangles équilatéraux. Imagi 
nez une seconde surface égale à la surface DEFG , etc. ; ces 
deux surfaces pourront s’adapter mutuellement, enjoignant 
chaque angle triple de l’une à un angle double de l’autre ; 
et, comme les plans de ces angles ont déjà entre eux l’incli 
naison K nécessaire pour former un angle solide quintuple 
égal à l’angle A, il ne sera rien changé dans cette jonction à 
l’état de chaque surface en particulier, et les deux ensemble 
formeront une seule surface continue , composée de vingt 
triangles équilatéraux. Cette surface sera celle de l’icosaèdre 
régulier, puisque d’ailleurs tous les angles solides sont 
égaux entre eux. 
PROPOSITION III. 
PROBLEME. 
Trouver Vinclinaison de deux faces adjacentes d'un po 
lyèdre régulier. 
Cette inclinaison se déduit Immédiatement de la construc 
tion qui vient d’être donnée des cinq polyèdres réguliers ; à 
quoi il faut ajouter la proposition xxiv, liv. v, par laquelle 
étant donnés les trois angles plans qui forment un angle 
solide , on détermine l’angle que deux de ces plans font 
entre eux. 
Dans le tétraèdre. Chaque angle solide est formé de trois 
%. 243.