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NOTE VÏ. 
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NOTE VI. 
Sur la plus courte distance de deux droites non 
situées dans le même plan. 
£g. 2S0. Soient AB, CD, deux droites données, non situées dans le 
même plan, dont il s’agit de trouver la plus courte distance . 
Suivartt AB faites passer deux plans perpendiculaires 
entre eux qui rencontrent CD l’un en C , l’autre en D ; des 
points C et D abaissez CA et DB perpendiculaires sur AB ; 
dans le plan ABD menez DE parallèle et AE perpendiculaire 
à BA, ce qui formera le rectangle ABDE ; dans le plan CAE 
joignez CE et menez AI perpendiculaire à CE ; enfin dans le 
plan CDE menez IK parallèle à DE jusqu’à la rencontre de 
CD en K, faites AL —IK. et joignez KL; je dis, i° que la 
droite KL est perpendiculaire à-la-fois aux deux droites 
données AB, CD ; que cette même droite KL est plus 
courte que toute autre qui joindrait deux points des lignes 
AB, CD, et qu’ainsi KL , ou son égale AI, est la plus courte 
distance demandée. 
En effet, i° les trois droites AB, AC, AE étant par 
construction perpendiculaires entre elles, l’une d’elles AB 
est perpendiculaire au plan des deux autres ; donc AB 
est perpendiculaire à AI; d’ailleurs Kl est parallèle à DE, 
et DE à AB , donc Kl est parallèle à AB , et puisqu’on a fait 
AL=:KI, il s’ensuit que la figure AIKL est un rectangle. 
Cela posé, l’angle AIK est droit ainsi que AIC, donc la 
droite AI est pei’pendiculaire au plan KIC ou CDE; donc 
sa parallèle KL est perpendiculaire au même plan CDE, 
et par conséquent est perpendiculaire à CD. Donc, x° la 
droite KL est perpendiculaire à-la-fois aux deux di'oites 
AB, CD. 
2° Soit M un point quelconque de la droite CD; si par 
ce point on mene MN parallèle à DE oxx à AB, la distance 
du point M à la droite AB sera égale à AN , puisque l’angle 
BAN est droit. Or on a AN > AI ; donc AI est la plus courte 
distance des lignes données AB, CD. 
Soient le* perpendiculaires CA ™ a, et DB = AE zz: b,