NOTE Vili. 
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drilateres, c le nombre des pentagones, etc. qui composent 
la surface d’un polyèdre ; le nombre total des faces sera 
a ~h b -f- c + d-\~ etc., et le nombre total de leurs côtés sera 
3 a + 4 b + 5c + 6rf+etc. Ce dernier nombre est double de 
celui des arêtes, puisque la même arête appartient à deux 
faces , ainsi on aura 
etc. 
2 A = 3« -f~ 4 4 -f- 5c-J-6c/-f- etc. 
Et puisque, suivant le théorème dont il s’agit, S + H=rA 
-J-2 , on en tire 
2 b — 4 ~î~ ^ “f- 2 h —{— 3 c —{— [y d-J- etc. 
Une première remarque que fournissent ces valeurs, c’est 
que le nombre des faces impaires a-j-c~j-e-f-etc. est tou 
jours pair. 
On peut faire pour abrégerOJ = è-|-2c-J-3c/-f- etc., et 
alors on aura 
A — | H -hi co, 
S = 2-h T H co * 
Ainsi dans tout polyèdre on a toujours A>|H, et S > 
a -f-4 H, où il faut observer que le signe > n’exclut pas l’éga 
lité, attendu qu’on pourrait avoir co — o. 
Le nombre de tous les angles plans du polyèdre est i A, 
celui des angles solides est S, de sorte que le nombre moyen 
des angles plans qui forment chaque angle solide, est 
2 A 
Ce nombre ne peut être moindre que 3, puisqu’il faut 
au moins trois angles plans pour former un angle solide ; 
ainsi on doit avoir 2 A > 3S, le signe > n’excluant pas 
l’égalité. Si on met au lieu de A et S leurs valeurs en 
H et co, on aura 3 H + co > 6 -J- y H -f- f w, ou 3 H > 12 -f- co. 
Remettant les valeurs de H et co en a, è, c, etc., il en 
résultera 
3« -|- ih c > 12 —|— e -f- if-\- 3^-f- etc. 
d’où l’on voit que a, h, c, ne peuvent pas êti’e zéro à-la- 
fois, et qu’ainsi il n’existe aucun polyèdre dont toutes lés 
faces aient plus de cinq côtés. 
Puisqu’on a H > 4 + i 10 5 substitution dans les valeurs 
de S et de A donnera S > 4 -f- f w , et A > 6 -J- 00. Mais en 
même temps on a co < 3H—12 ; et de là il résulte S < 2 H—4 ?