NOTE XII. 
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La question qu’il faut examiner, est de savoir si, en 
faisant varier les inclinaisons des plans qui composent la 
surface d’un polyèdre convexe donné, on peut former un 
second polyèdre convexe, compris sous les mêmes plans 
polygonaux, assemblés entre eux dans le même ordre. 
Nous observerons d’abord que, s’il y a un second polyèdre 
qui satisfait à la question, ce ne peut pas être le polyèdre 
symmétrique du polyèdre donné, puisque dans ces deux 
polyèdres les plans égaux sont disposés dans un ordre in 
verse autour des angles solides correspondants. Ainsi la 
considération des polyèdres symmétriques doit être en 
tièrement écartée de l’objet dont nous nous occupons. 
Nous observerons, en second lieu, que si le polyèdre 
donné contient un ou plusieurs angles solides triples , ces 
angles sont de leur nature invariables, puisque la connais 
sance de trois angles plans suffit pour déterminer les in 
clinaisons mutuelles de ces plans , lorsqu’ils sont réunis en 
angle solide. On peut donc supprimer dans le solide pro 
posé toutes les pyramides triangulaires qui forment les 
angles solides triples (i); et si le nouveau polyèdre qui 
résulte de cette suppression, offre encore des angles solides 
triples, on pourra de même les supprimer, et ainsi succes 
sivement, jusqu’à ce qu’on parvienne à un polyèdre dont 
tous les angles solides n’assemblent pas moins de quatre 
angles plans chacun. En effet, si le solide proposé peut 
changer de figure par des variations quelconques dans les 
inclinaisons de ses plans , ce changement ne peut avoir lieu 
sur les pyramides triangulaires retranchées, et il devra 
s’opérer tout entier sur le polyèdre restant après la sup 
pression de toutes les pyramides triangulaires. Nous ne 
nous occuperons donc dans ce qui suit, que des polyèdres 
dont tous les angles solides assemblent au moins quatre 
angles plans. 
%. 286, Cela posé, soit S l’un quelconque des angles solides du 
avaient été proposées pour le même objet dans la première édition 
de ces Eléments, pag. 827 et suiv. 
(1) Si une même arê-te était commune à deux angles soldes triples , 
on ne supprimerait dans la première opération qu'un de ces angles.