nues (i) , on sait que le côté AF augmentera si l’angle ABF
augmente , et qu’il diminuera si l’angle ABF diminue.
Supposons maintenant que l’angle C varie, les trois
autres B, D, E, étant constants; si on tire les diagonales
AC, FC, il est visible que ces diagonales demeureront
constantes, ainsi que les angles ACB, FCD; on aura donc
encore un triangle sphérique ACF, dont les côtés AC , CF,
sont constants, et dans lequel l’angle ACF varie de la même
quantité que l’angle C du polygone ; d’où l’on conclura de
même que le côté AF augmentera si l’angle C augmente,
et qu’il diminuera si l’angle C diminue.
Il est évident que le même raisonnement peut s’appli
quer à la variation de l’un ou l’autre des angles D et E, et
qu’il aurait également lieu pour tout autre polygone sphé
rique de plus de trois côtés. Ainsi la conclusion sera , dans
tous les cas , conforme à l’énoncé de la proposition, si tou
tefois le polygone est convexe avant et après son change
ment de ligure. Cette restriction est nécessaire , car si
l’angle E , par exemple, diminuait jusqu’à ce que le point F
tombât sur la diagonale AE, alors AF serait un minimum ;
et si, à compter de ce point, on continuait de diminuer
l’angle E, il est visible que le côté AF augmenterait au
lieu de diminuer; mais, dans ce dernier cas, l’angle A.FE
deviendrait un angle rentrant, et le polygone cesserait
d’être convexe.
Corollaire. Les mêmes choses étant posées, si plusieurs
des angles opposés au dernier côté AF augmentent, et
qu’aucun d’eux ne diminue, le côté AF augmentera néces
sairement par l’effet de toutes les variations réunies. Le
contraire aura lieu, si plusieurs des angles opposés au
côté AF diminuent, et qu’aucun d’eux n’augmente.
Car, si par l’effet de l’augmentation ou de la diminution
simultanée, les angles A, B, C, etc. du polygone doivent
être changés en A.', B’, C', etc. on pourra passer successive
ment du polygone proposé à celui qui ne contient qu’un
angle varié A' ; de celui-ci au polygone qui ne contient que
(i) Cette proposition se démontre de la même manière que la
proposition X, liv. I, pour les triangles rectilignes*
