NOTE XII. 3at) 
les deux angles variés A' et B', et ainsi de suite. Or, dans 
chacun de ces passages, l’application de la proposition est 
manifeste, et conduit toujours au même résultat. 
L E M M E II. 
Etant donné un polygone sphérique convexe dont les 
côtés sont constants, et qui en a plus de trois, si on fait 
marier les angles d'une manière quelconque, sans ce 
pendant que le polygone cesse d'être convexe; si on met 
ensuite le signe -f- au sommet de chaque angle qui 
augmente , le signe — au sommet de chaque angle qui 
diminue, et qu'on ne mette aucun signe aux angles qui 
demeurent constants ; je dis qu'en faisant le tour du 
polygone, on devra trouver au moins quatre change 
ments de signe d'un sommet au sommet suivant. 
En effet, i° si n est le nombre des angles du polygone, 
il ne pourrait y avoir n — 2 angles consécutifs, qui aug 
mentent tous à-la-fois, ou dont les uns augmentent et les 
autres restent constants ; car si l’un ou l’autre de ces cas 
avait lieu, il s’ensuivrait, par le corollaire du lemme pré 
cédent , que le côté du polygone qui est opposé à ces n — 2 
angles, augmenterait; ce qui est contraire à l’hypothese 
que tous Iqs côtés du polygone sont constants. Par une 
raison semblable, on ne pourra supposer que n — 2 angles 
consécutifs diminuent tous à-la-fois, ou que quelques-uns 
diminuent, les autres restant constants. Donc, dans la série 
de n — 2 angles consécutifs, il devra y avoir au moins un 
changement de signe; à plus forte raison ce changement 
devra-t-il être observé dans la série des n angles consécu 
tifs , lorsqu’on fera le tour entier du polygone. 
2 0 Les variations dans les angles du polygone ne peuvent, 
être telles, qu’elles offrent seulement une série de signes -J-, 
et une de signes —, de sorte qu’il n’y ait que deux change 
ments de signe dans le tour entier du polygone. 
Car soient, par exemple, A, B, C, les trois angles mar- fig. 2 8 
qués du signe -j-, et D, E, F, G, les quatre marqués du 
signe *— (cette hypothèse comprend celle où il y aurait un