NOTE XIÎ. 333 
ne varient pas toutes à-la-fois , et qu’il y en ait quelques- 
unes qui demeurent constantes. 
Soit FI une de ces arêtes, on pourra imaginer qu’elle fig. 204. 
soit supprimée, et que les deux faces adjacentes FIG, 
EFIH, se réunissent en une seule non plane terminée 
par le contour de forme invariable EFGIH. Appelons S', H' 
et A' ce que deviennent les nombres S, II et A, après la 
suppression d’une arête, nous aurons H' — II — 1, et 
A' == A — 1 ; d’ailleurs on aS'nS, puisque le nombre 
des angles solides est le même dans les deux solides ; 
donc on aura S' -J- IF — A' “ S •+■ H — A ~ 2. D’où l’on 
voit que le théorème d’Euler a encore lieu dans le nouveau 
solide qui contient une arête de moins , et une face de 
moins, puisque deux faces se sont réunies en une seule 
non plane. 
Si de ce second solide on retranche encore l’une des 
arêtes sur lesquelles l’inclinaison reste invariable, la sup 
pression de cette arête occasionnels de nouveau la réunion 
de deux faces contiguës en une seule; et on prouvera de 
même que le théorème d’Euler a encore lieu dans le troi 
sième solide qui résulte de la suppression de deux arêtes. 
On peut continuer à supprimer tant d’arêtes qu’on vou 
dra , pourvu que cette suppression n’entraîne celle d’aucun 
angle solide ; et le théorème d’Euler aura toujours lieu dans 
le solide restant : c’est aussi ce qu’on peut voir directement 
et généralement, en examinant la démonstration que nous 
avons donnée du théorème d’Euler; en effet, cette démons 
tration ne suppose pas que les faces du polyèdre sont 
planes ; elle aurait également lieu, quand même ces faces 
seraient terminées par des contours non situés dans les 
mêmes plans ; elle suppose seulement que chaque contour 
soit représenté, suivant notre construction, par un poly 
gone sphérique, et que la somme des surfaces de ces poly 
gones soit égale à la surface de la sphère. Et il n’est pas 
même nécessaire que tous ces polygones soient convexes; 
il suffit que chacun d’eux puisse être regardé comme la 
somme de plusieurs polygones convexes; ce qui arrivera 
toujours, lorsque, par la suppression de plusieurs arêtes 
appartenant au polyèdre donné , plusieurs faces planes se