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Full text

Title
Éléments De Géométrie, Avec Des Notes
Author
Legendre, Adrien Marie

NOTE XIÎ. 333
ne varient pas toutes à-la-fois , et qu’il y en ait quelques-
unes qui demeurent constantes.
Soit FI une de ces arêtes, on pourra imaginer qu’elle fig. 204.
soit supprimée, et que les deux faces adjacentes FIG,
EFIH, se réunissent en une seule non plane terminée
par le contour de forme invariable EFGIH. Appelons S', H'
et A' ce que deviennent les nombres S, II et A, après la
suppression d’une arête, nous aurons H' — II — 1, et
A' == A — 1 ; d’ailleurs on aS'nS, puisque le nombre
des angles solides est le même dans les deux solides ;
donc on aura S' -J- IF — A' “ S •+■ H — A ~ 2. D’où l’on
voit que le théorème d’Euler a encore lieu dans le nouveau
solide qui contient une arête de moins , et une face de
moins, puisque deux faces se sont réunies en une seule
non plane.
Si de ce second solide on retranche encore l’une des
arêtes sur lesquelles l’inclinaison reste invariable, la sup
pression de cette arête occasionnels de nouveau la réunion
de deux faces contiguës en une seule; et on prouvera de
même que le théorème d’Euler a encore lieu dans le troi
sième solide qui résulte de la suppression de deux arêtes.
On peut continuer à supprimer tant d’arêtes qu’on vou
dra , pourvu que cette suppression n’entraîne celle d’aucun
angle solide ; et le théorème d’Euler aura toujours lieu dans
le solide restant : c’est aussi ce qu’on peut voir directement
et généralement, en examinant la démonstration que nous
avons donnée du théorème d’Euler; en effet, cette démons
tration ne suppose pas que les faces du polyèdre sont
planes ; elle aurait également lieu, quand même ces faces
seraient terminées par des contours non situés dans les
mêmes plans ; elle suppose seulement que chaque contour
soit représenté, suivant notre construction, par un poly
gone sphérique, et que la somme des surfaces de ces poly
gones soit égale à la surface de la sphère. Et il n’est pas
même nécessaire que tous ces polygones soient convexes;
il suffit que chacun d’eux puisse être regardé comme la
somme de plusieurs polygones convexes; ce qui arrivera
toujours, lorsque, par la suppression de plusieurs arêtes
appartenant au polyèdre donné , plusieurs faces planes se