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Full text

Title
Éléments De Géométrie, Avec Des Notes
Author
Legendre, Adrien Marie

NOTE XII.
334
réuniront en une seule non plane ; car alors le polygone
spliérique qui représente celle-ci, sera composé de la somme
des polygones sphériques convexes qui représentaient les
faces planes supprimées.
Venons maintenant au cas où la suppression des arêtes
sur lesquelles l’inclinaison ne varie pas , entraîne celle d’un
ou de plusieurs angles solides, soit parce que les inclinai
sons sur toutes les arêtes, dans chacun de ces angles, sont
invariables, soit parce que ces inclinaisons ne pourraient
varier que sur trois arêtes seulement, et qu’alors elles
seraient nécessairement constantes.
Supposons d’abord qu’on ne supprime qu’un angle
solide, et soit m le nombre des faces de cet angle, ou le
nombre d’arêtes qui aboutissent à son sommet. En sup
primant l’angle solide dont il s’agit, on supprimera en
même temps m arêtes, et les m faces formant l’angle solide
se réduiront à une seule ; donc, si on appelle S', A', H', ce
que deviennent les nombres S, A, H, après la suppression
d’un angle solide , on aura S' = S — i, A' = A — m ,
1E = H — ( m — i). De là on tire S' + H' — A' =. S-f- H —
A—2 :donc le théorème d’Euler a encore lieu dans le
nouveau solide.
Il est clair maintenant qu’on peut supprimer tant d’angles
solides qu’on voudra du polyèdre donné, et que le théorème
d’Euler aura toujours lieu dans le polyèdre restant ; car en
supprimant les angles solides un à un, on a successivement
différents polyèdres, dont deux consécutifs rentrent dans
le cas que nous venons d’examiner.
Donc en général, si du polyèdre proposé ou supprime
toutes les arêtes sur lesquelles l’inclinaison ne varie pas ;
soit que par cette suppression le nombre des angles solides
reste le môme, ou qu’il devienne moindre, le polyèdre res
tant satisfera toujours au théorème d’Euler, c’est-à-dire
qu’en appelant s, h, a, les quantités qui pour ce polyèdre
correspondent aux quantités S, H, A, du polyèdre pro
posé , on aura s h — a — S + H — A — 2.
Mais dans ce dernier solide, les inclinaisons sur les arêtes
devront varier toutes à-la-fois, puisqu’on a supprimé toutes
les arêtes sur lesquelles l’inclinaison ne varie pas ; donc ce