NOTE XII. 
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réuniront en une seule non plane ; car alors le polygone 
spliérique qui représente celle-ci, sera composé de la somme 
des polygones sphériques convexes qui représentaient les 
faces planes supprimées. 
Venons maintenant au cas où la suppression des arêtes 
sur lesquelles l’inclinaison ne varie pas , entraîne celle d’un 
ou de plusieurs angles solides, soit parce que les inclinai 
sons sur toutes les arêtes, dans chacun de ces angles, sont 
invariables, soit parce que ces inclinaisons ne pourraient 
varier que sur trois arêtes seulement, et qu’alors elles 
seraient nécessairement constantes. 
Supposons d’abord qu’on ne supprime qu’un angle 
solide, et soit m le nombre des faces de cet angle, ou le 
nombre d’arêtes qui aboutissent à son sommet. En sup 
primant l’angle solide dont il s’agit, on supprimera en 
même temps m arêtes, et les m faces formant l’angle solide 
se réduiront à une seule ; donc, si on appelle S', A', H', ce 
que deviennent les nombres S, A, H, après la suppression 
d’un angle solide , on aura S' = S — i, A' = A — m , 
1E = H — ( m — i). De là on tire S' + H' — A' =. S-f- H — 
A—2 :donc le théorème d’Euler a encore lieu dans le 
nouveau solide. 
Il est clair maintenant qu’on peut supprimer tant d’angles 
solides qu’on voudra du polyèdre donné, et que le théorème 
d’Euler aura toujours lieu dans le polyèdre restant ; car en 
supprimant les angles solides un à un, on a successivement 
différents polyèdres, dont deux consécutifs rentrent dans 
le cas que nous venons d’examiner. 
Donc en général, si du polyèdre proposé ou supprime 
toutes les arêtes sur lesquelles l’inclinaison ne varie pas ; 
soit que par cette suppression le nombre des angles solides 
reste le môme, ou qu’il devienne moindre, le polyèdre res 
tant satisfera toujours au théorème d’Euler, c’est-à-dire 
qu’en appelant s, h, a, les quantités qui pour ce polyèdre 
correspondent aux quantités S, H, A, du polyèdre pro 
posé , on aura s h — a — S + H — A — 2. 
Mais dans ce dernier solide, les inclinaisons sur les arêtes 
devront varier toutes à-la-fois, puisqu’on a supprimé toutes 
les arêtes sur lesquelles l’inclinaison ne varie pas ; donc ce