C’est la relation cherchée entre A, B, C, a, ou la 
quatrième des équations nécessaires pour la résolu 
tion des triangles sphériques. 
lxxxi. Cette demiere équation entre A, C, G, a, 
offre une analogie frappante avec la première entre 
a, h, c, A : et on peut rendre raison de cette ana 
logie par la propriété des triangles polaires ou sup 
plémentaires. En effet, on sait que le triangle dont 
les angles sont A, B, C, et les côtés opposés a, h,c, 
répond toujours à un triangle polaire, dont les côtés 
sont 200° — A, 200° •— B, 200° — C , et les angles 
opposés 200° — a, 200° — b, 200° — c. Or le prin 
cipe de l’article nxxvi étant appliqué à ce dernier 
triangle, il en résulte 
R. 2 cos (200 0 — A)—Rcas (200 0 —B)c<w (200 0 —C) 
cos {0.00 ~a)— • * 
ce qui se réduit à 
cos a: 
200 0 —E) s in (aoo°~C) 
R 2 cos A -f- R cos R cos C 
s in E s in C 
ainsi que nous l’avons trouvé par une autre voie. 
, Cette formule résout immédiatement le cas où 
l’on veut déterminer un côté par le moyen de trois 
angles ; mais , pour avoir une formule plus com 
mode pour le calcul logarithmique, on substituera 
la valeur de cos a dans l’équation 1 
2 s in* '-a . , sin 2 4 a 
——2—, ce qui donnera —— 
il 1 11 
sin E sin C—cos B cos C—R cos A