DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5 
en donnant une méthode générale (*) pour ramener, par des 
-p— à l’intégrale d’une for 
mule semblable qui, par la disposition de ses coefficiens, est facile 
à évaluer par approximation. Ces transformations ont le double but 
de servir à la comparaison d’une suite de transcendantes formées 
d’après la même loi, et de conduire aux approximations les plus 
rapides dont ces fonctions sont susceptibles. 
Telles étaient les principales découvertes des Géomètres dans la 
/ Рdoc • * • 
-p—, lorsque je publiai 
mes Recherches sur l’intégration par arcs d’ellipse ( 2 ). La première 
partie avait été composée avant que j’eusse connaissance du théorème 
de Landen ; elle contenait des vues nouvelles sur l’usage des arcs 
d’ellipse, et particulièrement un mojen d’éviter l’emploi des arcs 
d’hyperbole dans le calcul intégral, en y suppléant par une table 
d’arcs d’ellipse dressée convenablement. Je donnai ensuite une nou 
velle démonstration du théorème de Landen, et je prouvai par la 
même méthode , que toute ellipse donnée fait partie d’une suite 
infinie d’ellipses tellement liées entre elles , que par la rectification 
de deux de ces ellipses, prises à volonté, on obtient la rectifica 
tion de toutes les autres. Ces ellipses ayant un demi-grand axe 
commun égal à l’unité , et leurs excentricités variant suivant une loi 
connue, depuis zéro jusqu’à l’unité, on peut par ce théorème réduire 
la rectification d’une ellipse donnée à celle de deux autres ellipses 
aussi peu différentes du cercle qu’on voudra. C’était un pas de plus 
dans une carrière difficile. 
Mais cette matière, et en général la théorie des transcendantes 
désignée par î demandait à être traitée d’une manière plus 
méthodique et plus approfondie. C’est ce que j’essayai de faire dans 
mon Mémoire sur les Transcendantes elliptiques , publié en 179З. 
Je me proposai dans cet ouvrage, de comparer entre elles toutes 
les fonctions comprises sous cette dénomination , de les classer en 
différentes espèces, de réduire chacune à la forme la plus simple 
( l ) Nouveaux Mémoires de Turin, ann. 1784 et iy85, Tom. IL 
C) Mém. de l’Acad. des Sciences de Paris, ann. 1785.