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SECONDE PARTIE. 
JD es intégrales Eulériennes de la -première espèce. 
(i). L’expression par laquelle nous désignons l’intégrale 
x p ~'dx 
, prise depuis x = o jusqu’à x = i, est en général 
/- 
l/(i — x n ) n -‘i 
une fonction des deux exposans p et q, et de l’exposant n, qu’on 
regarde comme des nombres entiers. Mais nous supposons n cons 
tant, et notre but est de comparer entre elles les diverses valeurs 
de(^~) qui répondent à une même valeur de n, afin de réduire 
au moindre nombre possible les transcendantes que cette expression 
renferme. 
Nous observerons d’abord que les deux exposans p et q peuvent 
être échangés entre eux. En effet, si on fait r n = i —y n 3 on aura 
x p ~'dx 
y~'dy 
{/( i — x n ) n -î 
Vil — y n y-r. 
et la transformée en y devra être intégrée depuis y = i jusqu’à 
y = o. En changeant son signe, elle devra être intégrée depuis 
y = o jusqu’à y == i ; et comme alors on peut mettre x à la place 
de y , on aura 
j' xf-'dx J" 
x^'dx 
]/(i — y-r. 
00 
Vil — x n y-i 
ou, suivant notre notation, 
©=©. 
ce qui est la propriété énoncée. 
(2). Il faut faire voir maintenant que si dans la formule 
l’un des deux nombres p et q est pins grand que n, la formule 
se ramène aisément au cas où p et q sont compris l’un et l’autre 
dans les limites 1 et n. Pour cela soit Z = x k ( 1 — x n ) r , on aura 
la différentielle 
</Z= kx k ~ l dx (i— xy-'—ï'^k-j-rn) x k 'tg~ 1 dx (1 —x n ) r ~D