58 PREMIÈRE PARTIE. 
i" — a°dz 
s —J 
Soit encore z= a cos <p, et c 3 = on aura 
cl Î* dq> a . . 
V? j I/O— C 2 sin 2 (p) \/2 J 
résultat auquel on serait parvenu directement en faisant 
x = «A coscp 
J = -y sin <p cos <p. 
Avec ces valeurs où A est toujours pris positivement, suivant notre 
usage, on suit la courbe dans tout son contour , de cette manière : 
Dans le premier quart AMC , les valeurs de <p s’étendent depuis 
<p = o jusqu’à cp = j- tT ; dans le second quart GNB , elles s’étendent 
depuis <p = * tT jusqu’à <p = ; dans le troisième quart BN'C, depuis 
<p = tt jusqu’à <p = !■#, et enfin dans le quatrième GM'A , depuis 
<p = f TT jusqu’à <p = 2?r. 
Cela posé, si l’on fait -y- = i, on aura s=F(<p); mais quelle 
que soit la ligne qu’on prend pour unité, on voit que les arcs de 
la Lemniscate jouissent de toutes les propriétés des fonctions ellip 
tiques de première espèce, c’est-à-dire, qu’ils peuvent être ajoutés , 
retranchés ou divisés algébriquement comme les arcs de cercle. 
Ainsi étant donné un arc quelconque MO, on peut, à compter 
d’un point donné H, déterminer algébriquement un autre arc PII 
ou HL qui soit dans un rapport rationnel donné avec l’arc MO. Il 
suffit pour cela de déterminer <p d’après une équation de la forme 
F (£) — F (a) = ztz ^ [F(<p) — F (yj] , à laquelle correspond toujours 
une équation algébrique. 
A plus forte raison peut-on diviser un arc donné MO en un cer 
tain nombre de parties égales. Par exemple, s’il s’agit du quart 
de la courbe AMG, on déterminera son milieu K au moyen de l’équa- 
iion sin a <p =—î-j- = — l —, ou par la corde CK. = - cos ®= {/(21/ 2—2); 
l-f-0 14-C 7 1 c r ' 
si l’on veut déterminer l’arc AM égal au tiers de AOC, il faudra ,