(n2). En appliquant à cette formule les propriétés connues des 
fonctions F , on en déduira aisément tous les théorèmes particuliers 
auxquels Euler est parvenu dans le mémoire cité. Voici , par 
exemple, deux de ces théorèmes ; 
clr X T p QX T -f- X r+ P 
où l’on peut observer que le second se déduit du premier, en 
mettant r — p au lieu de p, et qu'ainsi il suffira de démontrer le 
premier. 
D'abord on peut mettre x à la place de x* r , ce qui ne change pas 
les limites de l’intégrale; et cette substitution revient à faire 2/ == 1. 
On aura donc à démontrer la formule 
/ 'dx 
xlx ' 
— — Ü — 
dx x 2 ' — i3ar 2 -f- x 
i+P 
= logCOSyPTT. 
Or j’observe que cette intégrale peut se mettre sous la forme 
“ ^ P f jA» 
rq-p) r(i + p) 
Mais on a F 7 = V * , et F ( i — p) F ( ^ -j- p) = 
Z = log cos pvr. 
Des autres théorèmes donnés par Euler se démontrent avec la même 
facilité ; mais le théorème suivant ne se trouve pas dans le mé 
moire d’Euler, parce qu’il dépend d’une formule qui a été décou 
verte postérieurement.