EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Ces équations pourraient se démontrer directement au moyen des
deux formules
cos -f- r cos 2<p -f- cos 5(p~j~ r 3 cos 4<p -f- etc.,
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Si l’on différenciait les formules que nous venons de trouver
par rapport aux constantes qu’elles renferment, on en déduirait
une multitude d’autres formules plus ou moins remarquables ; mais
nous n’entrerons pas dans de plus grands détails à ce sujet. Nous
devons seulement ajouter que les formules (c) , (d) , (J) , (¿) ,
(A), (Z), très-remarquables dans la théorie des intégrales définies,
sont dues à M. Bidone, qui les a publiées dans les Mémoires de
l’Académie de Turin, année 1812.
§ Y. Formules propres à rendre plus étendue la théorie
des intégrales définies.
(i35). Dans les recherches précédentes, on a pu remarquer que
des intégrales connues, prises depuis z =0 jusqu’à z = 00, en ont
fait connaître d’autres, prises depuis æ = o jusqu’à æz=i. La
transformation employée pour cet objet, peut être généralisée, de
manière qu’en passant alternativement d’un genre d’intégrales à un
autre , on pourra assez souvent trouver une infinité de formules
qui auront la même valeur ; et par ce principe , la théorie des
intégrales définies acquerra une nouvelle extension.
Dans les transformations dont nous allons parler ^ nous désigne
rons constamment par z la variable qui s’étend dans les intégrales
depuis z = o jusqu’à z = co J et par x celle qui ne s’étend que
depuis æ = o jusqu’à æ = 1.
(i56). Cela posé , soit la formule fdz (p Çz) = A, dans laquelle
l’intégrale est prise depuis a = o jusqu’à a = 00 , et a pour valeur
/:
cos <p — r
- 2 r COS <p -j- r %
dz
77l 2 -}- 2> 2
cos kz —