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EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL. 
CASE X Y I. 
(5o). Par les formules des cases I, II, IV, Y et VI, on peut 
connaître en général la valeur de l’intégrale cos m a sin"«, 
quels que soient les nombres entiers rn et n, positifs ou négatifs; 
pourvu que m~\-n soit pair. Les formules de la case XY1 don 
neront la valeur de cette intégrale lorsque m -f- n sera impair. 
Soit pour cet effet sin 2 o) = sin 3 ct cos 2 <p-j-sin 3 £ sin 2 (f> = 
sm 2 £(i— c 3 sm 2 <|>), et c 2 = I — on aura en general 
/ 
da cos a sin 5 ”« 
MN 
= si n an - , £/A 2 ' t - 1 i/<p. 
Cette intégrale devra être prise depuis <p = o jusqu’à <p = £ rt ; 
ainsi elle ne dépendra en général que des deux fonctions com 
plètes F’(c), E l (c). 11 en sera de même de l’intégrale générale 
f da CQSa * P dtp l_ 
J MN sin 2 ' 1 *' siJ A 2 "' 4 ' 1 sin Q sin 2ri û. J ^ 9 
et ainsi on a, quel que soit n, 
da cos a i C da cos a sin 571 « 
fi 
A 
MN sin 27I £y sin 271 # sin 2,t £./ MN 
Par la même substitution, on trouve en général 
da l C dtp 
f 
MN cos in ~'a 
sin£ cos 27I £ 
h 
-j- c 2 tang E £ sin 2 <p)"A 3 
dp 
intégrale qui, étant réduite d’après la formule do la case VI, 
pourra toujours s’exprimer par les trois fonctions complètes F ■(«), 
E'(c), IT(c 3 tang 3 £, c) ; et cette dernière, comme on sait, peut 
être exprimée en fonctions de la première et de la deuxième es 
pèce, par la formule du n° 96. 
Les trois autres formules générales de la case XVI, se déduisent 
des trois précédentes par le seul changement de et en — £, et 
de £ eu 17r — et.