DEUXIÈME SUPPLÉMENT.
iG3
§ XII. Démonstration d'une formule générale qui s'applique
à un grand nombre de transcendantes.
197. Considérons l’intégrale fx = J'^ (px) 9 ^ ans ^ af l ue ^ e f x et
<px désignent des fonctions entières de x. Cette inlégrale se rapportera
aux fonctions elliptiques tant que la variable x ne passera pas le /\ de
gré dans (px, mais au-delà de ce degré elle désignera des transcendantes
d’un ordre de plus en plus élevé. Il s’agit de faire voir que toutes ces
transcendantes jouissent d’une propriété générale analogue à celle que nous
avons trouvée , pour les fonctions elliptiques, dans le cliap. XVI, tome 1 er ,
du Traité précédent.
Pour cela, supposons que la fonction entière <px est le produit de deux
autres fonctions aussi entières, que nous désignerons par Ç,x et <p a x , de
sorte qu’on ait <px = (p,x. <p a x. Soient en même temps ûx et ô t x deux
autres fonctions entières de x, ainsi exprimées,
(0
ôx = a 0 -f- a x x 4- a„x a + a 3 x 5 ...+ a n x n ,
6,¿c = c 0 -f- c i æ + c a. æ% + c m* m i
lesquelles satisfassent à l’équation
(2) <p t x — = (x — x t ) (x — x a ) {x — x 3 ).. .{x — xf.
Il faudra donc que le premier membre, développé suivant les puissances
de x, donne identiquement le même polynpjne en x, du degré /¿, qui ré
sulte du développement du second membre. Quant aux coefliciens a Q ,
c 0 , c t ... c m , qui entrent dans les fonctions Qx , ô,.r, ils sont supposés
fonctions d’une même variable j indépendante de x , et cette variabilité
n’est point partagée par les coefliciens contenus dans les fonctions tp t x et
<p a x, lesquels doivent être considérés comme constans, ainsi que la quan
tité et comprise dans le dénominateur x — ct.
Cela posé, nous nous proposons de démontrer qu’on aura généralement
l’équation
(3)
+‘v4- r =+ f 3 4 x 3 +
f » -j- ô,ot\/((p 2 x)
[/($'«0 n èecy/(ç,ee)— ô i «\/( < Pa a: )
C + n(X),
C étant une constante et n(X) désignant le coefficient de - dans le dé-
X
veloppement, suivant les puissances descendantes de x, de la fonction
