PREMIER SUPPLÉMENT. i î 
l’intégrale est F(Æ, <p) = jwF (/¿, 4)? en donnant aux constantes p. et h les 
valeurs que nous avons déterminées, et qu’ainsi le théorème de M. Jacobi 
est démontré dans toute sa généralité. 
10. La valeur de i —y a été mise ci-dessus (n° 6) sous une forme dont 
le dénominateur est constant : on peut mettre sous une semblable forme la 
valeur dey, car, en vertu de l’équation donnée art. 2, savoir 
sm (7 sin 
ein 2 <p — sîn 2 4' 
i —• /i 2 sin 2 (p sin 2 4 ’ 
la quantité que nous avons nommée Um (art. 9) peut se mettre sous la 
forme 
Um = 
Donnant à m toutes les valeurs 2,4, 6.... /?— i , et faisant le produit 
de tous les facteurs, on aura 
J- 
. sin AI si" A (l + y) sin A (l + Ç). • • • Si" A (î + K ) 
• „ . 2K • „ . 4K. . „ . p 
sin 2 A.— sm A. —.... sm A. — 
-K 
PP P 
ou, en substituant la valeur de u donnée par l’équation (8) , 
. 4K\ 
J 
sin A| sinA^ + —j si« A ("l -J ... sin — 
sin 2 U, sin 2 «3 sin 2 «5. . . . sin 2 c/.p_ m 
11. Telle est en substance la démonstration donnée par M. Jacobi, dans 
le n° 127 du Journal de M. Schumacher, de la formule générale au moyen 
de laquelle on peut transformer toute fonction elliptique donnée de pre 
mière espèce F(A:, (p), d’abord en une autre F {h, 4), dont le module est 
moindre que k, puis celle-ci en une troisième, et ainsi à l’infini, sui 
vant une échelle de modules correspondante au nombre impair donné p. 
Ce théorème, réuni à un autre dont nous avons déjà parlé, ajoute un 
grand degré de perfection à la nouvelle branche d’analyse connue main 
tenant sous le nom de théorie des fonctions elliptiques ; mais son impor 
tance même semble faire désirer que la démonstration, quoique établie 
sur un principe incontestable et très ingénieux , soit soumise à un autre 
genre de vérification qui la mette, s’il est possible, dans un plus grand 
jour. 
Voici, pour cet obiet, un moyen fondé sur la substitution Immédiate de