«
2o FONCTIONS ELLIPTIQUES,
ques dénominations, afin de coordonner ce théorème avec le théorème 1 er ,
dont il est le complément.
Dans l’équation (i5) on peut changer k! en A; alors h' deviendra A, et k
se changera en A'; et puisque cr est une amplitude à volonté, on peut faire
cr = 4 et l’amplitude correspondante r = co. Par tous ces changemens, le
coefficient //. deviendra p!, et l’équation des Fonctions sera
(18) F(A, 4) =
11 faudra ensuite, dans les équations (i6), remplacer les quantités ct m par
des quantités analogues qui satisfont à l’équation F (A', £ m ) = — H'. Fai
sant alors sin 4 ~y et sin co z=z, les équations des amplitudes se dédui
ront des équations (16) comme il suit :
y ^ + y*co\?C* i -{- y z cot z £4 i -j- y 2 cot 3 C p ~¡
i y 2 cot 3 C p _ 2 ‘i + y 2 cot 3 ‘ * i -f- y* cot 3 £, ?
y 2 cos 3 £ 3 y 2 cos 3 ^ y 2 cos 2 C p _ ,
sin 3 £ p sin 3 £p_4 sin 3 C,
y 2 cot 2 £p_ 2 * i -f-y 2 cot 3 C p _4 i-j-j 3 cot 3 C, 5
_ J 3 C0S 3 £, ^ 3 C0S 3 ^3 y 2 COS 2 Cp_ B
sin 3 C p _! sin 2 Cp_3 sin 3 £ a
1+y 2 cot 3 Ci ■ i -{-y 2 cot 3 03 * ' ' * I -f / cot 3 Cp_ a ’
(*9)
Q—2 a )»=(l—J*)*
1 -h.
I
V/(i — A # z ft ) =\/{i—h % f a ).-
Telles sont les formules principales dans lesquelles consiste le théorème II
de M. Jacobi, que nous nous proposions de démontrer j il ne nous reste plus
qu’à y joindre les formules qui serviraient à déterminer les constantes k' et
fji! par le moyeu du module donné h • ces formules, qui se déduisent aisé
ment des formules analogues pour le théorème 1 er , seront développées dans
le paragraphe suivant.
28. On a déjà remarqué, dans les équations (16), que les deux ampli
tudes parviennent en même temps de zéro à 90 o ; il en est de même des
deux amplitudes 4 et Faisant donc à la fois 4 = et co í-tt,
on aura F , A = ¿¿'F 1 A, ou H = ///K. Mais on a déjà trouvé, par les formules
du théorème 1 er , R ~puH.j donc on a, entre les régulateurs p, et p', l’é
quation générale
(20) ppu! = 1.
Maintenant, si l’on combine ensemble les deux formules
F {k5 <P) = /MF (A, 4)? F (A, 4)==/^^ (A, co), fournies par les deux théo
rèmes, on aura F (A, (p) == pp! F (A, co), ou
(21) F (A, co) =>F(A, <p).
