320 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
et la loi générale est confirmée dans un des cas les plus compliqués du 
système de ¡x = 7, comme elle l’a été dans tous les autres exemples re 
latifs à de moindres valeurs de /x. 
Autre série de formules pour la comparaison des mêmes transcendantes. 
З08. Jusqu’ici les formules que nous avons développées supposent 
que la fonction (рос = 1 — oc 5 est partagée en deux facteurs, l’un du 
second degré, l’autre du troisième; mais cette fonction peut âussi être 
partagée en deux facteurs, Fun du quatrième, l’autre du premier de 
gré , savoir : <p,oc = 1 -f- oc -f- oc* -f- oc 3 -f- oc 4 et <р л ос = i — oc. 
Dans cette nouvelle supposition, on pourra former une autre série 
infinie de formules correspondantes à toutes les valeurs du nombre fx , 
au moyen desquelles l’équation (3) offrira la comparaison des fonctions ^oc 
dans une infinité de combinaisons nouvelles. Nous pourrions donc ici re 
commencer une nouvelle série de calculs qui conduiraient à des résultats 
analogues à ceux que nous avons déjà obtenus, et qui confirmeraient éga 
lement toutes les propriétés énoncées dans notre théorie; mais nous nous 
bornerons à établir les formules qui se rapportent aux deux cas les plus 
simples, celui de fx = \ et celui de fx = 5. 
З09. Dans le premier cas, si l’on prend Ьос = 1 et 9,x = c + c,oc , il 
faudra satisfaire à l’équation 
(K) \ + x -}- x'-+-x 3 -fart—(c -f c t xy (1 — x) = {x — x,) (.r — x,) (x — x 3 ) (x — x 4 ). 
Soient données les deux valeurs oc~t, oc — t', avec lesquelles on forme 
le produit [oc — t) [oc — t') = oc 2 — A oc + B , et supposons que les deux 
autres termes de la série oc,, oc a , oc 3 , oc 4 soient les racines de l’équation 
o = oc a — poc-\-q, il faudra que le premier membre de l’équation (K) 
soit identique avec le produit développé [oc* — A oc -f- B) [oc* — poc f 
ce qui donnera les quatre équations de condition 
p H- A = — 1 — c*, , 
q -h p\ -f- B = 1 — c\ -f- 2CC, , 
p\S -j- qA = — 1 + 2CC, — c a , 
qB =. 1 — c*. 
Deux de ces équations peuvent être remplacées par les deux suivantes : 
f + c,t = X = W—ù, 
I t 7 
C -f- 
C,t' —