y (2 H- 2i^)V \/(l — C 2 sin 2 Ç>) 1/(2 4 
Mais, pour faire usage de cette dernière formule, il importe de passer 
directement de la variable x à la variable <p ; cest ce qui se fera par 
les équations 
P = 
i 4- kx* 
= z* — 2A: 2 = — ik* 4“ 
(l 4 Æ 2 ) 3 (l C® sin® <p) 
h 2 sin a <p 
d’où l’on déduit 
sm a <p 
A /» 
2.T (l 4- A) 
(i 4- x) (x 4- Æa:)‘ 
On voit donc que tandis que la variable x croît depuis x = o jus 
qu’à ¿c = i, l’amplitude <p croît de même continuellement depuis <p = o 
jusqu’à q> = {tt. 
Maintenant, si dans le résultat qu’on vient d’obtenir on change le signe 
de A; 2 , la valeur de c a deviendra celle de et l’amplitude cp restera tou 
jours la même ; d’où il suit qu’en réunissant les deux parties de la valeur 
de -\x, on aura ce résultat très simple 
F {c, ?) + F(i,?) 
1/(2 4-o.k) ' . 
Ainsi l’on voit qu’en effet la fonction 4^ s’exprime par deux fonc 
tions elliptiques de première espèce, qui ont la même amplitude <p, 
et dont les modules sont coraplémens l’un de l’autre; de sorte qu’on a 
( 1 4- k•)* 
c* = et 6' 
2 + 2Î 2 4" 2^ 
Puisqu’en supposant x = j on a <p = la valeur de la fonction 
complète 4 1 sera a * ns i exprimée 
I — F'c + F'fl . 
T 1 \/(2 + 2k) * 
mais on peut aussi trouver la valeur de 4 1 P ar un autre procédé qui dé 
pend des fonctions F. 
# X*“ *dx • _L 
En effet, puisque 4 1 représente l’intégrale J —- (1—^ a ) %