TROISIÈME SUPPLÉMENT.
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dx
x 7 ) (i— A-"* 2 )]*
320. Cette transcendante appartient à la seconde classe, puisque 5 est
le plus haut exposant de x dans le polynôme compris sous le radical,
et elle fait partie de la première espèce, ou plutôt elle est la plus simple
des fonctions de la première espèce dans cette classe,* elle jouira donc de
la propriété en vertu de laquelle étant données ¡x — 2 valeurs particu-
lières de oc, on pourra par leur moyen en déterminer deux autres, de
manière que les fx fonctions qui en résultent satisfassent à l’équation (5) ,
c’est-à-dire que la somme de ces ¡x fonctions, prises avec les signes conve
nables, sera égale à une constante déterminée.
Mais ce qui est surtout digne de remarque, c’est que la transcendante
dont il s’agit, quoique appartenant à la seconde classe, est généralement
réductible à la première, en supposant A < 1; on fera voir, en effet,
qu’elle peut toujours s’exprimer par deux fonctions elliptiques de la pre
mière espèce : considérée sous ce double rapport, celte transcendante mé~
rite d’être examinée avec soin, parce qu’elle peut conduire à de nouvelles
propriétés des fonctions elliptiques.
Nous observerons d’abord que la transcendante ^x peut, sans cesser
d’être réelle, prendre trois formes différentes. La première, qui continuera
d’être désignée par -\oc, s’étend depuis x = o jusqu’à oc = 1.
La seconde, désignée par ^'x, suppose qu’on a changé x en — x ; de
sorte que <\'x représente une nouvelle intégrale j ~ ■ —— ,
qui s’étend depuis x = 1 jusqu’à x =
Enfin, la troisième, désignée par *\;"x, suppose que la variable x est po
sitive, et qu’elle s’étend depuis ^ — jusqu’à on a dans ce cas
Il n’y a pas d’autre hypothèse qui rende réelle l’intégrale primitive x,
tant qu’on suppose le module k plus petit que l’unité.
Faisons voir maintenant comment notre transcendante sous ces trois
formes peut être exprimée par deux fonctions elliptiques. Le procédé que
nous suivrons pour cet effet est le même dont nous avons déjà fait usage
dans l’art. 1 '9 du tome I er .
