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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

54o
FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,
forme la plus simple, sera
(A') a*(i — k*x*) — x (i — x a ) = {oc — x x ) (x — x a ) (x — x 3 ) :
elle suppose par conséquent p = 3, nombre le plus petit possible.
Soit t le terme qfie l’on suppose connu dans la série des valeurs parti
culières x,, x a , x 3 ; en faisant x = t, le second membre de l’équation (A')
devient nul, et du premier on tire
Soit ensuite x a — px -f- q = o l’équation du second degré , dont les
racines sont les deux autres valeurs particulières de x; il faudra qu’on ait
a* (i — k*x') — x (i — x a ) = [x — t) (x* — px -f- q),
ce qui donne trois équations de condition, d’où l’on tire
¿O-* 2 )
i — k 2 t* 7
Oik connaîtra ainsi les deux racines x — a, x == £, qui, avec la racine
donnée x = t, serviront à composer les trois fonctions comprises dans le
premier membre de l’équation (5).
325. Si l’on veut comparer entre elles quatre fonctions, il faudra satis
faire à l’équation suivante, qui suppose p = 4>
(i — — ( c + c x xyx = (x—x t ) (x—x a )[x—x 3 ) (x—x 4 ).
Soient données les deux valeurs particulières x=^t, x = t'; on aura
pour déterminer c et c, les deux équations
Ensuite, faisant (x — t)(x — t’) — x* — Ax -f- B, et appelant et et £ les
deux autres valeurs particulières de x qui sont les racines de l’équation
x* — px -f- q = o, on aura pour déterminer p et q les équations
A + p = c\,
B —f- A/? -f- 7 = — T — ~ — 2cc,,
la seconde pouvant être remplacée par k*J$q = i. On connaîtra donc les
quatre fonctions , qui doivent composer le premier
membre de l’équation (5).