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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
sont toujours complémens l’un de Fautre ; elle jouit meme de cette propriété 
d’une manière exclusive : car on peut démontrer que, dans toute autre 
échelle, on ne trouvera jamais deux termes qui soient complémens l’un 
de l’autre. 
Une autre particularité attachée à cette échelle, est que l’équation trans 
cendante ^7= VV ^ ? qui la caractérise, ne paraît pas susceptible d’être 
représentée par une équation algébrique entre les deux termes consé 
cutifs m et «, quoique les deux échelles dont elle est composée, l’une 
construite d’après le module sin 45°, l’autre d’après le module k, déter 
miné en fonction de p, appartiennent toutes deux à l’indice /?, et soient 
soumises, par conséquent, à la loi algébrique qui lie entre eux deux termes 
consécutifs. 
6o. On a un exemple de l’échelle unique dont l’indice est \/p , pour 
le cas de /7 = 2, qui est celui de l’ancienne échelle, dans la réunion des 
deux échelles formées n° 77, tome I er , lesquelles donneraient, suivant les 
dénominations précédentes, 
k' = \/2 — 1, k=\/(2\/2—2), hz=. 3 — 2^/2, // =z 2 (\/ 2 — 1)1/2. 
M N 
Cette échelle satisfait à l’équation —, =^/2.-^7 ; mais dans ce cas , le plus 
simple de tous, on ne voit pas quelle serait l’équation algébrique qui 
pourrait avoir lieu entre deux termes consécutifs de l’échelle : on sait seu 
lement que, pour les termes alternatifs tels que n et n % , n x et n 2 , on a 
n = et n x = Si l’on fait donc n — 4 (n.) , 4 désignant une 
fonction inconnue, il faudrait déterminer cette fonction de manière qu’elle 
satisfît à l’équation 
i 1 
3(4^) 2 1 / \ 
x + 4(*)‘—VJ+V 
Un second exemple de l’échelle unique se trouve, pour le cas de p = 3, 
dans la réunion des deux échelles données n os 192 et ig3 du tome I er ; 
elles s’accordent avec la forme générale du n° 5g, en faisant k — siny5 0 , 
Ti _ •„ Ko tj F 3 ^ 1/2 — v/3 ,, f / 1 
k = sin 10 , h — j ? h — - 1 ; et I on a généralement pour 
deux termes consécutifs m et n l’équation = \/3. Cette échelle est 
remarquable par ses trois termes moyens, qui sont sin 75% sin 45°, 
sin i5°.